Nhóm con chuẩn tắc

bất biến dưới mọi tác động liên hợp

Trong đại số, nhóm con chuẩn tắc (hay còn gọi là nhóm con bất biến hoặc nhóm con tự liên hợp)[1] là nhóm con bất biến dưới mọi tác động liên hợp. Nói cách khác, nhóm con H của nhóm G được gọi là chuẩn tắc trong G nếu và chỉ nếu gH = Hg với mọi g thuộc G; tức là tập các lớp kề trái và các lớp kề phải trùng nhau.[2][3] Ta có thể xây dựng nhóm thương từ một nhóm con chuẩn tắc cho trước.[4][5] Một nhóm G, không tầm thường, không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài nhóm con tầm thường và chính nó, được gọi là một nhóm đơn.[6]

Évariste Galois là người đầu tiên nhận ra tầm quan trọng của sự tồn tại của nhóm con chuẩn tắc.[7]

Định nghĩa

sửa

Nhóm con   của nhóm   được gọi là nhóm con chuẩn tắc của   nếu nó không đổi dưới phép liên hợp; tức là liên hợp của một phần tử thuộc   bởi một phần tử của   luôn nằm trong  [8] Ký hiệu thường dùng cho quan hệ này là  

Các điều kiện tương đương

sửa

Cho bất kỳ nhóm con   của   các điều kiện sau đều tương đương với việc   là nhóm con chuẩn tắc của   Do đó có thể dùng tuỳ ý một trong số chúng để làm định nghĩa

  • Ảnh của phép liên hợp của   bằng bất kỳ phần tử của   là tập con của  [9]
  • Ảnh của phép liên hợp của   bằng bất kỳ phần tử của   bằng với  [9]
  • Với mọi   lớp kề trái   và lớp kề phải   luôn bằng nhau.[9]
  • Tập hợp của lớp kề trái và tập của lớp kề phải   trong   bằng nhau.[9]
  • Tích của lớp kề trái của   tương ứng với   và một phần tử của lớp kề trái của   tương ứng với   là một phần tử của lớp kề trái của   tương ứng với  : với mọi   nếu  and   thì  
  •  hợp của các lớp liên hợp của  [10]
  •   được bảo toàn bởi các phép tự đẳng cấu trong của  [11]
  • Có một số đồng cấu từ  nhân [10]
  • Có một số quan hệ tương đẳng trên  lớp tương đương của phần tử đơn vị .
  • Với mọi    giao hoán tử   luôn nằm trong  [cần dẫn nguồn]

Các ví dụ

sửa

Cho bất kỳ nhóm   nhóm tầm thường   chỉ bao gồm phần tử đơn vị của   luôn là nhóm con chuẩn tắc của   Tương tư,   chính nó cũng luôn là nhóm con chuẩn tắc của   (Nếu đây là hai nhóm con chuẩn tắc thì   được gọi là nhóm đơn.)[12] Các tên khác cho nhóm con chuẩn tắc bao gồm tâm của nhóm (tập các phần tử giao hoán với các phần tử còn lại) và nhóm con giao hoán tử  [13][14] Tổng quát hơn, bởi phép liên hợp là đẳng cấu nên bất kỳ nhóm con đặc trưng cũng là nhóm con chuẩn tắc.[15]

Nếu   là nhóm giao hoán thì mọi nhóm con   của   là nhóm con chuẩn tắc, bởi vì   Nhóm không giao hoán nhưng mọi nhóm con của nó đều chuẩn tắc được gọi là nhóm Hamilton.[16]

Một ví dụ cụ thể là với mỗi số nguyên   cho trước, nhóm các số nguyên   có các nhóm con chuẩn tắc   bao gồm các bội số của  . Nhóm thương   là nhóm các lớp đồng dư theo mô-đun  .[17]

Một ví dụ cụ thể khác là nhóm con chuẩn tắc   của nhóm đối xứng   bao gồm phần tử và hai xích độ dài ba quy nhất. Cụ thể hơn, ta có thể kiểm tra rằng mọi lớp kề của   hoặc bằng với chính   hoặc bằng với   Mặt khác, nhóm   không chuẩn tắc trong   bởi  [18] Ví dụ này minh hoạ việc bất kỳ nhóm con   có chỉ số bằng hai thì là nhóm con chuẩn tắc.

Nhóm thay phiên   là một nhóm đơn, tức là nó chỉ có hai nhóm con chuẩn tắc:   và chính  .   là nhóm đơn không giao hoán có lực lượng nhỏ nhất.[19] Các nhóm   với   là một số nguyên tố đều là các nhóm đơn giao hoán. Chúng không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài hai nhóm con chuẩn tắc tầm thường.

Trong nhóm lập phương Rubik, các nhóm con chứa các phép biến đổi hướng của các khối ở góc hoặc ở cạnh thì chuẩn tắc.[20]

Nhóm tịnh tiến là nhóm con chuẩn tắc của nhóm Euclid trong bất kỳ số chiều.[21] Điều này có là thực hiện bất kỳ phép biến đổi hình học nào, rồi tịnh tiến một đoạn rồi biến đổi hình học ngược lại sẽ không khác gì một bước tịnh tiến. Ngược lại, nhóm của các phép quay quanh gốc toạ độ không phải nhóm con chuẩn tắc của nhóm Euclid khi số chiều lớn hơn hoặc bằng hai (bởi tịnh tiến, rồi quay quanh gốc toạ độ, rồi tịnh tiến về sẽ không giữ cố định gốc toạ độ và do đó không cùng giá trị với một phép quay quanh gốc toạ độ.

Các tính chất

sửa
  • Nếu   là nhóm con chuẩn tắc của    là nhóm con của   và chứa   thì   cũng là nhóm con chuẩn tắc của  [22]
  • Nhóm con chuẩn tắc của một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm không nhất thiết cũng phải chuẩn tắc trong nhóm đó. Tức là tính chuẩn tắc không cần phải là quan hệ bắc cầu. Nhóm nhỏ nhất có hiện tượng này là nhóm nhị diện cấp 8.[23] Song, nhóm con đặc trưng của nhóm con chuẩn tắc thì cũng chuẩn tắc.[24] Nhóm có tính chuẩn tắc tuân theo quan hệ bắc cầu được gọi là T-nhóm.[25]
  • Hai nhóm    là nhóm con chuẩn tắc của tích trực tiếp của chúng  
  • Nếu nhóm  tích nửa trực tiếp   thì   chuẩn tắc trong   còn   thì không nhất thiết phải chuẩn tắc trong  
  • Nếu    là nhóm con chuẩn tắc của nhóm cộng   sao cho   , thì  [26]
  • Tính chuẩn tắc được bảo toàn dưới các toàn ánh;[27] nghĩa là nếu ánh xạ   là toàn cấu nhóm và   chuẩn tắc trong   thì ảnh   chuẩn tắc trong  
  • Tính chuẩn tắc được bảo toàn bằng cách lấy ảnh ngược;[27] nghĩa là, nếu ánh xạ   là đồng cấu nhóm và   chuẩn tắc trong   thì ảnh ngược   chuẩn tắc trong  
  • Tính chuẩn tắc được bảo toàn dưới tích trực tiếp;[28] nghĩa là nếu    thì  
  • Mọi nhóm con của chỉ số bằng hai đều là nhóm con chuẩn tắc. Tổng quát hơn là, các nhóm con   có chỉ số hữu hạn   trong   và chứa nhóm con   chuẩn tắc trong   và có chỉ số là ước của   được gọi là lõi chuẩn tắc . Cụ thể hơn, nếu   là ước nguyên tố nhỏ nhất của cấp của   thì mọi nhóm con có chỉ số   đều chuẩn tắc.[29]
  • Dựa trên việc nhóm con chuẩn tắc của   là nhân của đồng cấu nhóm được định nghĩa trên  , ta có thể phân loại bên trong các đồng cấu nhóm được định nghĩa trong đó. Lấy ví dụ chẳng hạn, nhóm hữu hạn không tầm thường là nhóm đơn khi và chỉ khi nó đẳng cấu với tất cả ảnh đồng cấu không tầm thường của nó,[30] nhóm hữu hạn được gọi là nhóm hoàn hảo khi và chỉ khi nó không có nhóm con chuẩn tắc có chỉ số là số nguyên tố, và không hoàn hảo khi và chỉ nhóm con dẫn xuất của nó không được phụ hợp bởi bất kỳ nhóm con chuẩn tắc thực sự nào

Dàn của nhóm con chuẩn tắc

sửa

Cho hai nhóm con chuẩn tắc    của   Khi đó giao   và tích   đều là nhóm con chuẩn tắc của  

Các nhóm con của   tạo thành một dàn dưới quan hệ chứa trong với phần tử nhỏ nhất,  phần tử lớn nhất   Gặp của hai nhóm con chuẩn tắc    trong dàn này là giao của chúng và nối của hai nhóm con này là tích của chúng.

Dàn này đầy đủmodula.[28]

Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương và đồng cấu

sửa

Nếu   là nhóm con chuẩn tắc thì ta có thể định nghĩa phép toán trên các lớp kề như sau:

 
Quan hệ này định nghĩa ánh xạ   Để chứng minh ánh xạ này được xác định, ta cần chứng minh lựa chọn các phần tử đại diện   không làm thay đổi kết quả. Để làm điều đó, xét các phần tử đại diện khác   Khi đó tồn tại   sao cho   Từ đây
 
và ta cũng dùng thêm ý   là nhóm con chuẩn tắc, để do vậy tồn tại   sao cho   Điều này chứng minh phép toán được xác định.

Cùng với phép toán này, tập các lớp kề được gọi nhóm thương và được ký hiệu bằng   Có đồng cấu tự nhiên,   cho bởi   Đồng cấu này ánh xạ   sang phần tử đơn vị của   là lớp kề  [31] tức là,  

Trong tổng quát, đồng cấu nhóm   gửi mỗi nhóm con của   thành nhóm con của   Bên cạnh đó, tiền ảnh của bất kỳ nhóm con của   là nhóm con của   Ta gọi tiền ảnh của nhóm tầm thường   trong  hạt nhân (hay nhân) của đồng cấu nhóm và ký hiệu nó bởi   Hạt nhân luôn chuẩn tắc và ảnh của   luôn đẳng cấu với   (theo định lý đẳng cấu đầu tiên).[32] Hơn nữa, tương xứng này còn là song ánh giữa tập của nhóm thương của   và tập các ảnh đồng cấu   (xê xích đẳng cấu).[33] Cũng dễ nhận thấy rằng hạt nhân của ánh xạ thương,   chính là  , và các nhóm con chuẩn tắc là hạt nhân của các ánh xạ có miền xác định  [34]

Nhóm con chuẩn tắc và định lý Sylow

sửa

Định lý Sylow thứ hai phát biểu rằng: Nếu    là hai p-nhóm con Sylow của nhóm  , thì tồn tại   sao cho  

Đây là hệ quả trực : Gọi   là nhóm hữu hạn và   là p-nhóm con Sylow với   là số nguyên tố. Khi đó   chuẩn tắc trong   khi và chỉ khi   là p-nhóm con Sylow duy nhất của  .[35]

Xem thêm

sửa

Tham khảo

sửa
  1. ^ Bradley 2010, tr. 12.
  2. ^ Thomas Hungerford (2003), tr. 41
  3. ^ Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 70, Định nghĩa
  4. ^ Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 72, Bổ đề 4.9
  5. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 55, Định lí 10
  6. ^ Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 71, Ví dụ 1.
  7. ^ C.D. Cantrell (2000), tr. 160
  8. ^ Dummit & Foote 2004.
  9. ^ a b c d Hungerford 2003, tr. 41.
  10. ^ a b Cantrell 2000, tr. 160.
  11. ^ Fraleigh 2003, tr. 141.
  12. ^ Robinson 1996, tr. 16.
  13. ^ Hungerford 2003, tr. 45.
  14. ^ Hall 1999, tr. 138.
  15. ^ Hall 1999, tr. 32.
  16. ^ Hall 1999, tr. 190.
  17. ^ Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 73, Ví dụ trước mệnh đề 4.10
  18. ^ Judson 2020, Section 10.1.
  19. ^ Marc Hindry, tr. 22, Remarque
  20. ^ Bergvall và đồng nghiệp 2010, tr. 96.
  21. ^ Thurston 1997, tr. 218.
  22. ^ Hungerford 2003, tr. 42.
  23. ^ Robinson 1996, tr. 17.
  24. ^ Robinson 1996, tr. 28.
  25. ^ Robinson 1996, tr. 402.
  26. ^ Hungerford 2013, tr. 290.
  27. ^ a b Hall 1999, tr. 29.
  28. ^ a b Hungerford 2003, tr. 46.
  29. ^ Robinson 1996, tr. 36.
  30. ^ Dõmõsi & Nehaniv 2004, tr. 7.
  31. ^ Hungerford 2003, tr. 42–43.
  32. ^ Hungerford 2003, tr. 44.
  33. ^ Robinson 1996, tr. 20.
  34. ^ Hall 1999, tr. 27.
  35. ^ Hungerford 2013, tr. 300.

Thư mục

sửa
  • C.D. Cantrell (2000), Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. Cambridge University Press
  • Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục
  • Thomas Hungerford (2003). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer
  • Marc Hindry, Cours d'algèbbre au magistère de Cachan
  • Nguyễn Tiến Quang, (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục