Nhóm thương hay nhóm nhân tửnhóm thu được bằng cách gộp các phần tử tương tự với nhau của nhóm lớn hơn, dùng quan hệ tương đương để bảo toàn một số cấu trúc của nhóm (phần còn lại của cấu trúc bị "mất đi"). Lấy ví dụ, nhóm cyclic môđun n với phép cộng có thể thu được từ nhóm các số nguyên với phép cộng bằng cách chọn ra lớp các phần tử cách nhau bội của n và định nghĩa cấu trúc nhóm trên các lớp đó. Nhóm thương là một phần của lý thuyết nhóm.

Đối với quan hệ tương đẳng trên nhóm, lớp tương đương của phần tử đơn vị luôn là nhóm con chuẩn tắc của nhóm gốc, và các lớp tương đương khác đều là lớp kề của nhóm con chuẩn tắc đó. Kết quả thương tìm được ký hiệu là , trong đó là nhóm gốc và nhóm con chuẩn tắc.

Hầu như các tính chất các quan trọng của nhóm thương đều đến từ các phép đồng cấu. Định lý đẳng cấu đầu tiên phát biểu rằng ảnh của bất cứ nhóm G nào dưới phép đồng cấu luôn đẳng cấu với thương của . Cụ thể hơn, ảnh của dưới phép đồng cấu đẳng cấu trong đó ký hiệu hạt nhân của .

Thuật ngữ đối ngẫu với nhóm thương là nhóm con, hai nhóm này là cách chính để tạo nhóm nhỏ hơn từ nhóm lớn. Bất kỳ nhóm con chuẩn tắc đều có nhóm thương tương ứng, lấy từ nhóm mẹ bằng cách loại bỏ các phân biệt giữa các phần tử trong nhóm con. Trong lý thuyết phạm trù, nhóm thương là ví dụ của vật thương, đối ngẫu với vật con.

Định nghĩa và minh họaSửa đổi

Cho nhóm   ,nhóm con  , và  , ta có thể xét lớp kề trái:  . lớp kề là lớp của các tập hợp con của một nhóm; Lấy ví dụ, ta có nhóm Abel G của các số nguyên, cùng với phép toán hai ngôi là phép cộng, nhóm con   của các số nguyên chẵn. Có chính xác hai lớp kề:  , là các số chẵn, và  , là các số lẻ (ở đây ta dùng ký hiệu phép cộng cho phép cộng thông thường thay vì phép nhân).

Thường thì đối với nhóm con  , ta muốn có một phép toán hai ngôi trên mọi lớp kề khả thi,  . Điều này chỉ khả thi khi  là nhóm con chuẩn tắc, xem dưới. Nhóm con   của   là nhóm con chuẩn tắc khi và chỉ khi nó thỏa mãn đẳng thức   với mọi  . Nhóm con chuẩn tắc của   thường được ký hiệu là  .

Định nghĩaSửa đổi

Gọi   là nhóm con chuẩn tắc của nhóm   . Định nghĩa tập   là tập các lớp kề trái của   trong   . Nghĩa là,  . Bởi phần tử đơn vị  ,  , ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên tập các lớp kề  , như sau: Với mỗi    thuộc  , tích của   ,  , là  . Điều này chỉ đúng khi   không phụ thuộc vào cách chọn đại diện    của mỗi lớp kề trái   . Để chứng minh điều này, giả sử    với một số  . Khi đó

 .

Điều này dựa vào yếu tố N là nhóm con chuẩn tắc. Ta vẫn còn phải chứng minh điều này không chỉ đủ mà còn cần thiết để định nghĩa phép toán trên G/N.

Để chứng minh nó cần thiết, xét nhóm con   của  , ta được cho trước rằng phép toán đã được xác định. Nghĩa là với mọi   , .

Đặt   . Bởi  ,ta có  .

Bây giờ,   .

Do đó   là nhóm con chuẩn tắc của   .

Ta có thể kiểm tra lại rằng phép toán này trên   luôn kết hợp,   có phần tử đơn vị  , và nghịch đảo của phần tử   . Do đó, tập   đi cùng với phép toán định nghĩa bởi   tạo thành một nhóm, nhóm thương của   bởi  .

Bởi tính chuẩn tắc của  , lớp kề trái và phải của   trong   đều như nhau, và do đó,   cũng có thể định nghĩa là tập các lớp kề phải của   trong   .

Ví dụ: phép cộng modulo 6Sửa đổi

Lấy ví dụ, xét nhóm với phép cộng modulo 6:  . Xét nhóm con  , nhóm này chuẩn tắc bởi  nhóm giao hoán. Khi đó, tập các lớp kề trái chứa ba phần tử sau:

 .

Định nghĩa phép toán ở trên biến tập này thành nhóm thương, và nhóm này đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 3.

Lý do cho tên "Nhóm thương"Sửa đổi

Lý do   được gọi là nhóm thương đến từ phép chia các số nguyên. Khi chia 12 cho 3 ta được 4, ta có thể nghĩa phép chia này là cách ta nhóm 12 vật thể lại thành 4 họ con, với mỗi họ chứa 3 vật. Nhóm thương cũng lấy ý tưởng từ đó, nhưng thay vì là số thì ta được nhóm và cũng là bởi vì nhóm có nhiều cấu trúc hơn một họ tùy các vật thể.

Các ví dụ khácSửa đổi

Số nguyên chẵn và lẻSửa đổi

Xét nhóm các số nguyên   (dưới phép cộng) và nhóm con   chứa toàn bộ số chẵn.Đây là nhóm con chuẩn tắc bởi   giao hoán. Có duy nhất hai lớp kề: tập các số chẵn và tập các số lẻ, do đó nhóm thương   là nhóm cyclic chứa hai phần tử. Nhóm thương này đẳng cấu với nhóm   cùng với phép cộng modulo 2.

Phần dư của phép chia số nguyênSửa đổi

Ta tổng quát thêm ví dụ trước. Nhóm mẹ vẫn là nhóm các số nguyên   dưới phép cộng. Gọi n là số nguyên dương tùy ý. ta sẽ xét nhóm con   của   chứa toàn bộ bội của  . Một lẫn nữa, nhóm con   chuẩn tắc là bởi   giao hoán. Họ các lớp kề là  . Số nguyên   thuộc về lớp kề  , trong đó   là phần dư khi chia   bởi  . Nhóm thương   có thể được xem là nhóm các "phần dư" modulo  . Đây là nhóm cyclic cấp  .

Căn đơn vịSửa đổi

 
lớp kề của nhóm căn đơn vị thứ 4 N trong nhóm căn đơn vị thứ 12 G.

Căn đơn vị thứ 12 là tập các số phức nằm trên đường tròn đơn vị và cách đều nhau, tạo thành nhóm nhân giao hoán  , như trên hình vẽ là 12 quả cầu đã được tô màu. Xét nhóm con   của nó được tạo tự căn đơn vị thứ 4, là các quả cầu được tô đỏ. Nhóm con chuẩn tắc này chia nhóm thành 3 lớp kề, mỗi lớp chứa 1 trong 3 màu đỏ, xanh lá cây và xanh dương. Ta có thể kiểm tra lại rằng các lớp kề tạo thành nhóm có ba phần tử, (tích của màu đỏ với màu xanh lá cây ra xanh dương, nghịch đảo của phần tử xanh lá cây là phần tử màu đỏ, ...). Do đó nhóm thương   là nhóm 3 màu sắc, đồng thời là nhóm cyclic cấp 3.

Ma trận của các số thựcSửa đổi

Nếu   là nhóm các ma trận khả nghịch thực kích thước   ,và   nhóm con của các ma trận kích thước  định thức bằng 1, thì   chuẩn tắc trong   (bởi nó là hạt nhân của đồng cấu định thức). lớp kề của   là tập các ma trận với định thức cho trước, do đó   đẳng cấu nhóm nhân các số thực khác không . Nhóm   được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt  .

Nhóm nhân các số nguyênSửa đổi

Xét nhóm nhân  . Tập   của các phần dư thứ   là nhóm con đẳng cấu với  . Khi đó   chuẩn tắc trong   và nhóm thương   có các lớp kề  . Hệ mã hóa Paillier dựa trên giả thuyết rằng ta khó có thể xác định được lớp kề của một phần tử ngẫu nhiên thuộc   nếu không biết phân tích thừa số nguyên tố của  .

Các tính chấtSửa đổi

Nhóm thương   đẳng cấu với nhóm tầm thường (nhóm chỉ chứa một phần tử), và   đẳng cấu với  .

Cấp của  , định nghĩa là các số phần tử trong nhóm, bằng với  , chỉ số của   trong  . Nếu   hữu hạn, chỉ số này bằng với cấp của   chia cho cấp của  . Tập   có thể hữu hạn dù    vô hạn (lấy ví dụ,  ).

đồng cấu nhóm "tự nhiên" có tính toán ánh  , gửi mỗi phần tử   thuộc   sang lớp kề của    thuộc về, nghĩa là:  . Ánh xạ   đôi khi được gọi là phép chiếu chính tắc của   trên  . Hạt nhân của nó là  .

Có song ánh giữa các nhóm con của   chứa   và các nhóm con của  ; nếu   là nhóm con của   chứa  , thì nhóm con tương ứng của   . Quan hệ này đúng với cả các nhóm con chuẩn tắc của  và được chuẩn hóa trọng định lý dàn.

Một số tính chất quan trọng khác của nhóm thương nằm trong định lý cơ bản trên các đồng cấu và các định lý đẳng cấu.

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003), Abstract Algebra (ấn bản 3), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7
  • Herstein, I. N. (1975), Topics in Algebra (ấn bản 2), New York: Wiley, ISBN 0-471-02371-X