Các định lý đẳng cấu

(Đổi hướng từ Định lý đẳng cấu)

Trong toán học, cụ thể hơn là trong đại số trừu tượng, các định lý đẳng cấu (hay còn được biết với tên các định lý đẳng cấu của Noether) là các định lý mô tả các mối quan hệ giữa thương, đồng cấuvật con. Các định lý này có các phiên bản dành cho nhóm, vành, không gian vectơ, môđun, đại số Lie, và nhiều cấu trúc đại số khác. Trong đại số phổ dụng, các định lý đẳng cấu được tổng quát hóa dưới các đại số và các phép tương đẳng.

Lịch sử sửa

Các định lý đẳng cấu được lần đầu viết thành công thức bởi Emmy Noether trong bài Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, bài viết được xuất bản năm 1927 trong tạo chí Mathematische Annalen. Các phiên bản ít tổng quát hơn có thể được tìm thấy trong công trình của Richard Dedekind và các bài viết trước của Noether.

Ba năm sau, B.L. van der Waerden xuất bản cuốn sách trứ danh Moderne Algebra, cuốn sách này là sách đại số trừu tượng đầu tiên sử dụng hương tiếp cận nhóm-vành-trường cho chủ đề này. Van der Waerden ghi công các bài giảng của Noether trên lý thuyết nhóm và Emil Artin trên đại số, và chuyên đề được thực hiện bởi Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier, và chính van der Waerden tự ghi chính mình cho các ideal làm nguồn tham khảo chính.

Nhóm sửa

Lưu ý về số thứ tự và tên sửa

Dưới đây bốn định lý được đánh dấu lần lượt là A, B, C và D. Chúng thường được đánh thứ tự "Định lý đẳng cấu thứ nhất", "Định lý đẳng cấu thứ hai...", v.v; Tuy nhiên, không có thống nhất giữa tên gọi của các định lý đẳng cấu và mỗi tác giả có thể có cách đặt tên khác nhau. Để minh chứng, dưới đây là ví dụ của các tên gọi cho các đẳng cấu nhóm. Để ý rằng các định lý này cũng có phần tương tự khi xét vành và môđun.

So sánh tên của các định lý đẳng cấu trong lý thuyết nhóm
Tên gọi Tác giả Định lý A Định lý B Định lý C
Không có "Định lý đẳng

cấu thứ ba"

Jacobson[1] Định lý nền tảng của các đồng cấu (Định lý đẳng cấu thứ hai) "hay được gọi là định lý đẳng cấu đầu tiên"
van der Waerden,[2] Durbin[4] Định lý nền tảng của các đồng cấu Định lý đẳng cấu đầu tiên Định lý đẳng cấu thứ hai
Knapp[5] (Không tên) Định lý đẳng cấu thứ hai Định lý đẳng cấu đầu tiên
Grillet[6] Định lý đồng cấu Định lý đẳng cấu thứ hai Định lý đẳng cấu đầu tiên
Xếp theo chữ số (Cách gọi của Grillet) Định lý đẳng cấu đầu tiên Định lý đẳng cấu thứ ba Định lý đẳng cấu thứ hai
Rotman[7] Định lý đẳng cấu đầu tiên Định lý đẳng cấu thứ hai Định lý đẳng cấu thứ ba
Fraleigh[8] (Không tên) Định lý đẳng cấu thứ hai Định lý đẳng cấu thứ ba
Dummit & Foote[9] Định lý đẳng cấu đầu tiên Định lý đẳng cấu thứ hai

(hay Định lý hình thoi của đẳng cấu)

Định lý đẳng cấu thứ ba
Không có thứ tự Milne[10] Định lý đồng cấu Định lý đẳng cấu Định lý tương ứng
Scott[11] Định lý đồng cấu Định lý đẳng cấu Định lý năm nhất (hay định lý freshman)

Thường thì trong sách ít cho thêm định lý D, hay còn được gọi là định lý dàn, làm một trong các định lý đẳng cấu, nhưng khi cho thêm vào thì nó là cái cuối cùng.

Phát biểu các định lý sửa

Định lý A (nhóm) sửa

 
Biểu đồ của định lý nền tảng trên các đồng cấu

Đặt GH là nhóm, và đặt f : G → H là đồng cấu nhóm. Khi đó:

  1. Hạt nhân của fnhóm con chuẩn tắc của G,
  2. Ảnh của fnhóm con của H, và
  3. Ảnh của f đẳng cấu với nhóm thương G / ker(f).

Đặc biệt là, nếu f là toàn ánh thì H đẳng cấu với G / ker(f).

Định lý B (nhóm) sửa

 
Biểu đồ cho định lý B3. Hai nhóm thương (trong hình nét đứt) đẳng cấu với nhau.

Đặt   là nhóm . Gọi   là nhóm con của  , và   là nhóm con chuẩn tắc của  . Khi đó các mệnh đề sau được thỏa mãn:

  1. Tích   là nhóm con của  ,
  2. Phần giao   là nhóm con chuẩn tắc của  , và
  3. Hai nhóm thương    đẳng cấu với nhau.

Song,thực ra   không cần thiết phải là nhóm con chuẩn tắc, chỉ cần   là nhóm con của nhóm chuẩn hóa của   trong   là được. Trong trường hợp này, giao   không phải nhóm con chuẩn tắc của  , nhưng nó vẫn là nhóm con chuẩn tắc của  .

Định lý này đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu,[10] định lý hình thoi[12] hoặc định lý hình bình hành.[13]

Một ứng dụng của định lý đẳng cấu thứ hai là dùng để xác định các nhóm tuyến tính xạ ảnh, ví dụ nhóm trên đường xạ ảnh phức bắt đầu bằng cách đặt  , nhóm của các ma trận phức khả nghịch kích thước 2 × 2,  , là nhóm con của các ma trận có định thức bằng 1, và   là nhóm con chuẩn tắc của các ma trận scalar  , ta có  , trong đó  ma trận đơn vị, và  . Khi đó, từ định lý đẳng cấu thứ hai ta được:

 

Định lý C (nhóm) sửa

Gọi   là nhóm và   là nhóm con chuẩn tắc của  . Khi đó

  1. Nếu   là nhóm con của   sao cho  , thì   có nhóm con đẳng cấu với  .
  2. Mọi nhóm con của   có dạng   cho một số nhóm   của   sao cho  .
  3. Nếu   là nhóm con chuẩn tắc của   sao cho  , thì   có nhóm con chuẩn tắc đẳng cấu với  .
  4. Mọi nhóm con chuẩn tắc của   có dạng   cho một số nhóm con chuẩn tắc   của   sao cho  .
  5. Nếu   là nhóm con chuẩn tắc của   sao cho  , thf nhóm thương   đẳng cấu với  .

Định lý D (nhóm) sửa

Định lý tương ứng (hay còn được gọi là định lý dàn) đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu thứ ba hoặc thứ tư.

Bổ đề Zassenhaus (hay còn gọi là bổ đề con bướm) đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu thứ tự.[14]

Vành sửa

Phát biểu cho các vành cũng tương tự với nhóm, trong đó thay nhóm con chuẩn tắc bằng ideal.

Định lý A (vành) sửa

Đặt RS là vành và φ : R → S là đồng cấu vành. Khi đó:

  1. Hạt nhân của φ là ideal của R,
  2. Ảnh của φvành con của S, và
  3. Ảnh của φ đẳng cấu với vành thương R / ker(φ).

Đặc biệt là, nếu φ là toàn ánh thì S đẳng cấu với R / ker(φ).[15]

Định lý B (vành) sửa

Đặt R là vành. Gọi S là vành con của R, và gọi I là ideal của R. Khi đó:

  1. Tổng S + I = {s + i | s ∈ Si ∈ I } là vành con của R,
  2. Phần giao S ∩ I là ideal của S, và
  3. Hai vành thương (S + I) / IS / (S ∩ I) đẳng cấu với nhau.

Định lý C (vành) sửa

Đặt R là vành, và I là ideal của R. Khi đó

  1. Nếu   là vành con của   sao cho  , thì   là vành con của  .
  2. Mọi vành con của   có dạng   cho một số vành con   của   sao cho  .
  3. Nếu   là ideal của   sao cho  , thì   à ideal của  .
  4. Mọi ideal của   có dạng   cho một số ideal   của   sao cho  .
  5. Nếu   là ideal của   sao cho  , thì vành thương   đẳng cấu với  .

Định lý D (vành) sửa

Gọi   là ideal của  .Phép tương ứng   là ánh xạ bảo toàn phép chứa giữa tập các vành con   chứa   của   sang tập các vành con của  . Hơn nữa,   (vành con chứa  ) là ideal của   khi và chỉ khi   là ideal của  .[16]

Môđun sửa

Phát biểu của các định lý dành cho các môđun đơn giản hơn vì ta luôn thu được môđun thương từ bất kỳ môđun con. Các định lý đẳng cấu cho không gian vectơ (môđun trên một trường) và nhóm giao hoán (môđun trên  ) là các trường hợp đặc biệt. Đối với các không gian vectơ hữu hạn số chiều, tất cả các định lý này đều có thể suy ra được từ định lý về hạng.

Dưới đây, từ "môđun" luôn có nghĩa "R-môđun" cho một số vành cố định R.

Định lý A (môđun) sửa

Đặt MN là môđun và φ : M → N là đồng cấu môđun. Khi đó:

  1. Hạt nhân của φ là môđun con của M,
  2. Ảnh của φmôđun con của N, và
  3. Ảnh của φ đẳng cấu với môđun thương M / ker(φ).

Đặc biệt là, nếu φ là toàn ánh thì N đẳng cấu với M / ker(φ).

Định lý B (môđun) sửa

Đặt M là môđun, và đặt ST là môđun con của M. Khi đó:

  1. Tổng S + T = {s + t | s ∈ St ∈ T} là môđun con của M,
  2. Phần giao S ∩ T là môđun con của M, và
  3. Môđun thương (S + T) / TS / (S ∩ T) đẳng cấu với nhau.

Định lý C (môđun) sửa

Đặt M là môđun, T là môđun con của M.

  1. Nếu   là môđun con của   sao cho  , then   là môđun con của  .
  2. Mọi môđun con of   có dạng   cho một số môđun con   của   sao cho  .
  3. Nếu   là môđun con of   sao cho  , thì môđun thương   đẳng cấu với  .

Định lý D (môđun) sửa

Đặt   là môđun, và   là môđun con của  . Khi đó có song ánh giữa các môđun con của   có chứa   và các môđun con của  . Phép tương ứng được cho bởi   với mọi  . Phép tương ứng này giao hoán với quá trình lấy tổng và phần giao (tức là nó là đồng cấu dàn giữa dàn của các môđun con của   và dàn của các môđun con   có chứa  ).[17]

Đại số phổ dụng sửa

Để tổng quát hóa sang đại số phổ dụng, các nhóm con chuẩn tắc cần phải được thay bằng các quan hệ tương đẳng.

Quan hệ tương đẳng (hay tương đẳng) trên đại số   là quan hệ tương đương   tạo đại số con của  , đại số con này được coi là đại số đi cùng phép toán từng phần. Ta có thể biến tập của các lớp tương đương   thành một đại số có cùng kiểu qua các phép toán qua phần tử đại diện. Các phép toán này sẽ được định nghĩa tốt bởi bởi   là đại số con của  . Cấu trúc thu về được được gọi là đại số thương.

Định lý A (đại số phổ dụng) sửa

Gọi   là đồng cấu đại số. Khi đó ảnh của   là đại số con của  , quan hệ cho bởi   (tức hạt nhân của  ) tương đẳng trên  , và hai đại số    đẳng cấu với nhau (Lưu ý rằng trong trường hợp nhóm,      , nên ta có thể tìm ra khái niệm của hạt nhân trong lý thuyết nhóm trong trường hợp này.)

Định lý B (đại số phổ dụng) sửa

Cho đại số  , và đại số con   của  , cùng với tương đẳng   trên  , gọi   là vết của   trong    là họ các lớp tương đương giao với  . Khi đó

  1.   là tương đẳng trên  ,
  2.   là đại số con của  , và
  3. Đại số   đẳng cấu với đại số  .

Định lý C (đại số phổ dụng) sửa

Cho  là đại số và   là hai quan hệ tương đẳng trên   sao cho  . Khi đó   tương đẳng trên  , và   đẳng cấu với 

Định lý D (đại số phổ dụng) sửa

Cho   là đại số và đặt   là tập các tương đẳng trên  . Tập  dàn đầy đủ sắp thứ tự theo phép chứa.[18] Nếu   là tương đẳng và ta ký hiệu   là tập tất cả các tương đẳng chứa   (tức là  bộ lọc chính của  , hơn nữa nó còn là dàn con), khi đo ánh xạ   là đẳng cấu dàn.[19][20]

Chú thích sửa

  1. ^ Jacobson (2009), sec 1.10
  2. ^ van der Waerden, Algebra (1994).
  3. ^ Durbin (2009), sec. 54
  4. ^ [the names are] essentially the same as [van der Waerden 1994][3]
  5. ^ Knapp (2016), sec IV 2
  6. ^ Grillet (2007), sec. I 5
  7. ^ Rotman (2003), sec. 2.6
  8. ^ Fraleigh (2003), Chap. 34
  9. ^ Dummit, David Steven (2004). Abstract algebra. Richard M. Foote . Hoboken, NJ. tr. 97–98. ISBN 0-471-43334-9. OCLC 52559229.
  10. ^ a b Milne (2013), Chap. 1, sec. Theorems concerning homomorphisms
  11. ^ Scott (1964), secs 2.2 and 2.3
  12. ^ I. Martin Isaacs (1994). Algebra: A Graduate Course. American Mathematical Soc. tr. 33. ISBN 978-0-8218-4799-2.
  13. ^ Paul Moritz Cohn (2000). Classic Algebra. Wiley. tr. 245. ISBN 978-0-471-87731-8.
  14. ^ Wilson, Robert A. (2009). The Finite Simple Groups. Graduate Texts in Mathematics 251. Springer-Verlag London. p. 7. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-4471-2527-3.
  15. ^ Moy, Samuel (2022). “An Introduction to the Theory of Field Extensions” (PDF). UChicago Department of Math. Truy cập ngày 20 tháng 12 năm 2022.
  16. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. tr. 246. ISBN 978-0-471-43334-7.
  17. ^ Dummit and Foote (2004), p. 349
  18. ^ Stanley and Sankappanavar (2012), p. 37
  19. ^ Stanley and Sankappanavar (2012), p. 49
  20. ^ William Sun, (https://math.stackexchange.com/users/413924/william-sun). “Is there a general form of the correspondence theorem?”. Mathematics StackExchange. Truy cập ngày 20 tháng 7 năm 2019.

Tham khảo sửa

  • Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) pp. 26–61
  • Colin McLarty, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy (edited by Jeremy Gray and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
  • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (ấn bản 2), Dover, ISBN 9780486471891
  • Paul M. Cohn, Universal algebra, Chapter II.3 p. 57
  • Milne, James S. (2013), Group Theory, 3.13
  • van der Waerden, B. I. (1994), Algebra, 1 (ấn bản 9), Springer-Verlag
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
  • Burris, Stanley; Sankappanavar, H. P. (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9.
  • W. R. Scott (1964), Group Theory, Prentice Hall
  • John R. Durbin (2009). Modern Algebra: An Introduction (ấn bản 6). Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5.
  • Anthony W. Knapp (2016), Basic Algebra
  • Pierre Antoine Grillet (2007), Abstract Algebra (ấn bản 2), Springer
  • Joseph J. Rotman (2003), Advanced Modern Algebra (ấn bản 2), Prentice Hall, ISBN 0130878685