Lớp tương đương

Trong toán học, khi các phần tử của một tập hợp quan hệ tương đương với nhau với nhau, ta có thể tách tập thành các lớp tương đương. Các lớp này được xây dựng sao cho hai phần tử thuộc cùng một lớp tương đương khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau.

Tương đẳng là một ví dụ về lớp tương đương. Hai tam giác bên trái tương đẳng với nhau, trong khi hai tam giác còn lại không tương đẳng với tam giác nào cả. Do đó hai tam giác trái thuộc cùng một lớp tương đương, còn hai tam giác kia, mỗi tam giác nằm trong chính lớp của nó.

Cụ thể hơn, cho tập và quan hệ tương đương trên lớp tương đương của phần tử trong ký hiệu bởi [1] là tập [2]

các phần tử tương đương với Ta có thể chứng minh từ định nghĩa lớp tương đương rằng các lớp tương đương tạo thành phân hoạch tập hợp của Tập các lớp tương đương này được gọi là tập hợp thương hay không gian thương của bởi và ký hiệu bởi

Khi tập hợp có một số cấu trúc đại số (ví dụ như đi kèm phép toán nhóm hay là một nhóm topo và quan hệ tương đương tương thích với cấu trúc đó thì tập thương cũng sẽ giữ cấu trúc thêm vào từ tập mẹ. Các ví dụ bao gồm không gian thương trong đại số tuyến tính, nhóm thương, không gian đồng nhất, vành thương, monoid thương, và các phạm trù thương.

Các ví dụSửa đổi

  • Nếu   là tập tất cả các xe ô tô, and  quan hệ "có cùng màu với", thì một trong những lớp tương đương sẽ chỉ bao gồm các xe màu hồng, và   có thể coi là tập của các màu xe.
  • Gọi   là tập các hình chữ nhật trên mặt phẳng, và   là quan hệ tương đương "có cùng diện tích với", thì với mỗi số thực dương   sẽ có lớp tương đương bao gồm các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng  [3]
  • Xét quan hệ đồng dư 2 trên tập các số nguyên,   sao cho   khi và chỉ khi hiệu  số chẵn. Quan hệ này sinh ra hai lớp tương đương, một lớp chứa tất cả các số chẵn và lớp còn lại thì chứa tất cả các số lẻ. [4]
  • Xét   là tập các cặp số nguyên được sắp   với   khác không, và định nghĩa quan hệ tương đương   trên   sao cho   khi và chỉ khi   thì tập các lớp tương đương của cặp   có thể coi ngang với tập các số hữu tỷ   và quan hệ tương đương cùng với lớp tương đương có thể dùng để đưa ra định nghĩa cho tập các số hữu tỉ.[5] Cách xây dựng này có thể tổng quát hóa cho bất cứ trường phân thức của bất kỳ miền nguyên nào.

Định nghĩa và ký hiệuSửa đổi

Quan hệ tương đương trên tập  quan hệ hai ngôi   trên   thỏa mãn ba tính chất sau:[6][7]

  •   với mọi   (phản xạ),
  •   thì   với mọi   (đối xứng),
  • Nếu    thì   với mọi   (bắc cầu).

Lớp tương đương   thường được ký hiệu  ,  ,   hoặc   và được định nghĩa là tập   của các phần tử có quan hệ với   bởi  [2].

Tập các lớp tương đương của   với quan hệ tương đương   được ký hiệu bởi   và được gọi là tập thương của   bởi  .[8] Phép toàn ánh   từ   tới   ánh xạ từng phần tử sang lớp tương đương của chính nó được gọi là phép chiếu chính tắc.

Mỗi phần tử của mỗi lớp tương đương đều là đặc trưng của lớp đó, và do đó có thể đại diện cho lớp đó. Khi một phần tử trong lớp được chọn, nó được gọi là đại diện của lớp đó. Phép chọn đại diện của mỗi lớp là một đơn ánh từ   sang X.

Các tính chấtSửa đổi

Mỗi phần tử   thuộc   là phần tử của lớp tương đương   Bất cứ hai lớp tương đương    hoặc bằng nhau hoặc không giao nhau. Do đó, tập các lớp tương đương của   tạo thành phân hoạch tập hợp của  : mỗi phần tử thuộc   chỉ thuộc duy nhất một lớp tương đương.[9] Ngược lại, mỗi phân hoạch của   đến từ quan hệ tương đương theo cách đó thì,   khi và chỉ khi    thuộc chung một tập phân hoạch.[10]

Từ tính chất của quan hệ tương đương, ta có   khi và chỉ khi  

Nói cách khác, nếu   là quan hệ tương đương trên tập      là hai phần tử thuộc   thì các phát biểu sau là tương đương:

  •  
  •  
  •  

Biểu diễn đồ thịSửa đổi

 
Đồ thị với 7 lớp tương đương

Đồ thị vô hướng có thể dùng với bất cứ quan hệ đối xứng trên tập   với các đỉnh là các phần tử thuộc   và mỗi hai đỉnh    được nối với nhau khi và chỉ khi   Đồ thị của quan hệ tương đương là đồ thị mà các thành phần liên thông là các clique.[4]

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ “7.3: Equivalence Classes”. Mathematics LibreTexts (bằng tiếng Anh). 20 tháng 9 năm 2017. Truy cập ngày 30 tháng 8 năm 2020.
  2. ^ a b Weisstein, Eric W. “Equivalence Class”. mathworld.wolfram.com (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 30 tháng 8 năm 2020.
  3. ^ Avelsgaard 1989, p. 127
  4. ^ a b Devlin 2004, p. 123
  5. ^ Maddox 2002, pp. 77–78
  6. ^ Devlin 2004, p. 122
  7. ^ Weisstein, Eric W. “Equivalence Relation”. mathworld.wolfram.com (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 30 tháng 8 năm 2020.
  8. ^ Wolf 1998, p. 178
  9. ^ Maddox 2002, p. 74, Thm. 2.5.15
  10. ^ Avelsgaard 1989, p. 132, Thm. 3.16

Tham khảoSửa đổi

  • Avelsgaard, Carol (1989), Foundations for Advanced Mathematics, Scott Foresman, ISBN 0-673-38152-8
  • Devlin, Keith (2004), Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics (ấn bản 3), Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-449-1
  • Maddox, Randall B. (2002), Mathematical Thinking and Writing, Harcourt/ Academic Press, ISBN 0-12-464976-9
  • Wolf, Robert S. (1998), Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox, Freeman, ISBN 978-0-7167-3050-7

Đọc thêmSửa đổi

  • Sundstrom (2003), Mathematical Reasoning: Writing and Proof, Prentice-Hall
  • Smith; Eggen; St.Andre (2006), A Transition to Advanced Mathematics (ấn bản 6), Thomson (Brooks/Cole)
  • Schumacher, Carol (1996), Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics, Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
  • O'Leary (2003), The Structure of Proof: With Logic and Set Theory, Prentice-Hall
  • Lay (2001), Analysis with an introduction to proof, Prentice Hall
  • Morash, Ronald P. (1987), Bridge to Abstract Mathematics, Random House, ISBN 0-394-35429-X
  • Gilbert; Vanstone (2005), An Introduction to Mathematical Thinking, Pearson Prentice-Hall
  • Fletcher; Patty, Foundations of Higher Mathematics, PWS-Kent
  • Iglewicz; Stoyle, An Introduction to Mathematical Reasoning, MacMillan
  • D'Angelo; West (2000), Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs, Prentice Hall
  • Cupillari, The Nuts and Bolts of Proofs, Wadsworth
  • Bond, Introduction to Abstract Mathematics, Brooks/Cole
  • Barnier; Feldman (2000), Introduction to Advanced Mathematics, Prentice Hall
  • Ash, A Primer of Abstract Mathematics, MAA

Liên kết ngoàiSửa đổi