Trong toán học, một nhóm giao hoán hay nhóm Abel là một nhóm thỏa mãn thêm điều kiện là phép toán hai ngôi có thêm tính giao hoán.

Nói cách khác, một nhóm giao hoán là một tập hợp, G, cùng với một phép toán hai ngôi, "*", từ G×G vào G thỏa mãn các tính chất sau:

  1. Tính kết hợp: phép toán có tính kết hợp, tức là (a*b)*c = a*(b*c) với mọi a, bc thuộc G.
  2. Phần tử đơn vị: tồn tại duy nhất một phần tử gọi là phần tử đơn vị (ký hiệu là 1) sao cho với mọi phần tử a thuộc G thì a*1 = 1*a = a.
  3. Phần tử nghịch đảo: với mỗi phần tử a thuộc G tồn tại duy nhất một phần tử x, gọi là phần tử nghịch đảo của a, sao cho x*a = a*x = 1.
  4. Tính giao hoán: phép toán có tính giao hoán, tức là a*b = b*a với mọi a, b thuộc G.

Một nhóm Abel cũng là một -mô-đun với phép nhân vô hướng cho bởi (trong đó có thừa số ).

Ví dụSửa đổi

  • Mọi nhóm cyclic là nhóm Abel. Thật vậy, cho G là nhóm cyclic, nếu x, y là 2 phần tử của G thì   Như vậy nhóm các số nguyên   là nhóm Abel.
  • Mọi vành đều là nhóm Abel ứng với phép cộng. Trong vành giao hoán, các phần tử có nghịch đảo tạo thành một nhóm nhân giao hoán. Ví dụ tập tất cả các số thực là nhóm Abel tương ứng với phép cộng, tập tất cả các số thực khác không tạo thành nhóm Abel ứng với phép nhân.
  • Mọi nhóm con, nhóm thương của nhóm Abel là nhóm Abel.
  • Nhóm các ma trận nghịch đảo bậc n ( n > 1) dưới trường các số thực không tạo thành nhóm Abel với phép toán nhân.

Tính chấtSửa đổi

Cho G là một nhóm Abel (giao hoán)

  • Nếu n là số tự nhiên và x là một phần tử của G, thì phần tử x+x+..+x (n lần) có thể viết tắt là nx(-n)x = - (nx). Như vậy thì G sẽ trở thành một module trên vành   các số nguyên.(điều ngược lại cũng đúng,tức là mọi module trên vành các số nguyên có thể hiểu là một nhóm Abel).
  • Tập các đồng ảnh giữa các nhóm Abel cũng tạo thành một nhóm Abel đối với phép cộng các đồng ánh.

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi