Liên phân số (tiếng Anh: continued fraction) còn gọi là phân số liên tục là một dạng biểu diễn các số thực dương, cả hữu tỷ và vô tỷ, dưới dạng một phân số nhiều tầng.
Ví dụ:
9
7
=
1
+
1
3
+
1
2
{\displaystyle {\frac {9}{7}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{2}}}}}
Liên phân số đóng vai trò rất lớn trong việc nghiên cứu lý thuyết số .
Liên phân số ở dạng chính tắc là biểu thức có dạng
x
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
⋱
{\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,\ddots }}}}}}}
trong đó a 0 là một số nguyên không âm và tất cả các số a n
Liên phân số có thể biểu diễn chính xác các số thực.
Dạng tổng quát hơn là:
x
=
a
0
+
b
1
a
1
+
b
2
a
2
+
b
3
a
3
+
⋱
{\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\,\ddots }}}}}}}
trong đó b n
Chúng ta thường quen với biểu diễn thập phân của số thực:
r
=
∑
i
=
0
∞
a
i
10
−
i
{\displaystyle r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i}}
trong đó a 0 , là số nguyên bất kỳ, còn mỗi số a i
Tuy thế, theo cách biểu này có một số giới hạn. Một trong các vấn đề đó là sự tùy ý của cơ số 10. Tại sao là 10? Phải chăng là từ các yếu tố sinh học chứ không phải toán học (mỗi người chúng ta có 10 ngón tay); thay vì cơ số 10 ta có thể dùng cơ số 8 hoặc 2. Một vấn đề khác biểu diễn của các số hữu tỷ
p
q
{\displaystyle {\frac {p}{q}}}
hệ thập phân là vô hạn, chẳng hạn số ⅓ được biểu diễn bởi dãy vô hạn {0, 3, 3, 3, 3,....}.[cần dẫn nguồn Vấn đề thứ ba là các biểu diễn của một số là không duy nhất; chẳng hạn, số 1 có thể biểu diễn bằng cách khác 0.999...=1 .
Liên phân số đưa ra một cách biểu diễn số thực giải quyết cả ba vấn đề trên. Chẳng hạn, xét số 415/93, phần nguyên của phân số này là 4, phần lẻ của nó là số
43
93
{\displaystyle {\frac {43}{93}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
2
+
7
43
{\displaystyle 2+{\frac {7}{43}}}
415
93
=
4
+
43
93
=
4
+
1
93
43
=
4
+
1
2
+
7
43
=
4
+
1
2
+
1
43
7
=
4
+
1
2
+
1
6
+
1
7
{\displaystyle {\frac {415}{93}}=4+{\frac {43}{93}}=4+{\cfrac {1}{\cfrac {93}{43}}}=4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {7}{43}}}}=4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\cfrac {43}{7}}}}}=4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{7}}}}}}}
Thay cho cách viết cồng kềnh trên ta quy ước viết
415
93
=
4
+
1
2
+
+
1
6
+
+
1
7
{\displaystyle {\frac {415}{93}}=4+{\frac {1}{2+}}+{\frac {1}{6+}}+{\frac {1}{7}}}
hay đơn giản là 415/93= 4+1/(2+1/(6+1/7)),
hay đơn giản hơn nữa 415/93= [4; 2, 6, 7]. Có thể chứng minh rằng:
Dạng liên phân số của một số là hữu hạn khi và chi khi số đó là hữu tỷ.
Và dạng liên phân số của một số là vô hạn khi và chỉ khi số đó là vô tỷ.
sửa
Thuật toán sau là một cách đơn giản để biểu diễn số thực bất kì dưới dạng liên phân số chính tắc:
Cho số thực r, ký hiệu i là phần nguyên của r, f là phần thập phân của r. Biểu diễn liên phân số của r là [i ; a 1 , a 2 ,...], trong đó [a 1 ; a 2 ,...] là dạng biểu diễn liên phân số của 1/f . Nếu như f=0 thì thuật toán dừng lại, trong trường hợp f khác 0, ta lặp lại các bước trên với r thay bằng 1/f .
Ví dụ cho r= 4,345. Như vậy i= 4, f= 0,345.
Bảng sau mô tả các bước tìm biểu diễn liên phân số của r.
Tìm dạng biểu diễn liên phân số của 4,345
Số thực
Phần nguyên (floor )
Phần thập phân
Rút gọn của phần thập phân
Nghịch đảo của
f
{\displaystyle f}
Rút gọn của
1
/
f
{\displaystyle 1/f}
r
=
4
,
345
{\displaystyle r=4,345\,}
i
=
4
{\displaystyle i=4\,}
f
=
4
,
345
(
4
69
200
)
−
4
{\displaystyle f=4,345\ \left(4{\tfrac {69}{200}}\right)-4\,}
=
0
,
345
(
69
200
)
{\displaystyle =0,345\ \left({\tfrac {69}{200}}\right)\,}
1
/
f
=
1
/
0
,
345
(
200
69
)
{\displaystyle 1/f=1/0,345\ \left({\tfrac {200}{69}}\right)\,}
=
2
,
899
(
2
62
69
)
{\displaystyle =2,899\ \left(2{\tfrac {62}{69}}\right)\,}
r
=
2
,
899
{\displaystyle r=2,899\,}
i
=
2
{\displaystyle i=2\,}
f
=
2
,
899
(
2
200
69
)
−
2
{\displaystyle f=2,899\ \left(2{\tfrac {200}{69}}\right)-2\,}
=
0
,
899
(
62
69
)
{\displaystyle =0,899\ \left({\tfrac {62}{69}}\right)\,}
1
/
f
=
1
/
0
,
899
(
69
62
)
{\displaystyle 1/f=1/0,899\ \left({\tfrac {69}{62}}\right)\,}
=
1
,
113
(
1
7
62
)
{\displaystyle =1,113\ \left(1{\tfrac {7}{62}}\right)\,}
r
=
1
,
113
{\displaystyle r=1,113\,}
i
=
1
{\displaystyle i=1\,}
f
=
1
,
113
(
1
7
62
)
−
1
{\displaystyle f=1,113\ \left(1{\tfrac {7}{62}}\right)-1\,}
=
0
,
113
(
7
62
)
{\displaystyle =0,113\ \left({\tfrac {7}{62}}\right)\,}
1
/
f
=
1
/
0
,
113
(
62
7
)
{\displaystyle 1/f=1/0,113\ \left({\tfrac {62}{7}}\right)\,}
=
8
,
857
(
8
6
7
)
{\displaystyle =8,857\ \left(8{\tfrac {6}{7}}\right)\,}
r
=
8
,
857
{\displaystyle r=8,857\,}
i
=
8
{\displaystyle i=8\,}
f
=
8
,
857
(
8
6
7
)
−
8
{\displaystyle f=8,857\ \left(8{\tfrac {6}{7}}\right)-8\,}
=
0
,
857
(
6
7
)
{\displaystyle =0,857\ \left({\tfrac {6}{7}}\right)\,}
1
/
f
=
1
/
0
,
857
(
7
6
)
{\displaystyle 1/f=1/0,857\ \left({\tfrac {7}{6}}\right)\,}
=
1
,
167
(
1
1
6
)
{\displaystyle =1,167\ \left(1{\tfrac {1}{6}}\right)\,}
r
=
1
,
167
{\displaystyle r=1,167\,}
i
=
1
{\displaystyle i=1\,}
f
=
1
,
167
(
1
1
6
)
−
1
{\displaystyle f=1,167\ \left(1{\tfrac {1}{6}}\right)-1\,}
=
0
,
167
(
1
6
)
{\displaystyle =0,167\ \left({\tfrac {1}{6}}\right)\,}
1
/
f
=
1
/
0
,
167
(
6
1
)
{\displaystyle 1/f=1/0,167\ \left({\tfrac {6}{1}}\right)\,}
=
6
,
000
(
1
6
1
)
{\displaystyle =6,000\ \left(1{\tfrac {6}{1}}\right)\,}
r
=
6
,
000
{\displaystyle r=6,000\,}
i
=
6
{\displaystyle i=6\,}
f
=
6
,
000
(
6
)
−
6
{\displaystyle f=6,000\ \left(6\right)-6\,}
=
0
,
000
{\displaystyle =0,000\,}
Dừng
Biểu diễn liên phân số của 4,345 là [4; 2, 1, 8, 1, 6]
4
,
345
=
4
+
1
2
+
1
1
+
1
8
+
1
1
+
1
6
{\displaystyle 4,345=4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6}}}}}}}}}}}
Số 4,345 là một số hữu tỉ , do đó biểu diễn liên phân số của nó hữu hạn.
Liên phân số hữu hạn biểu diễn số hữu tỉ. Ngược lại, một số hữu tỉ bất kì có thể biểu diễn bằng liên phân số hữu hạn theo 2 cách:
Cách thứ nhất, bằng thuật toán nêu ở phần thuật toán biểu diễn số thực bằng liên phân số , ta được liên phân số
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]}
Cách thứ hai, từ biểu diễn ở cách thứ nhất, ta bớt đi 1 đơn vị ở thành phần cuối, và thêm vào sau nó một thành phần đúng bằng 1.
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
−
1
,
1
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}-1,1]}
Hai cách biểu diễn trên là tương đương nhau vì:
x
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
1
⋱
+
1
a
n
−
1
+
1
a
n
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
1
⋱
+
1
a
n
−
1
+
1
(
a
n
−
1
)
+
1
1
{\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n-1}+{\frac {1}{a_{n}}}}}}}}}}}}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n-1}+{\frac {1}{(a_{n}-1)+{\frac {1}{1}}}}}}}}}}}}}}}
Ví dụ:
2.25
=
2
+
1
/
4
=
[
2
;
4
]
=
[
2
;
3
,
1
]
,
{\displaystyle 2.25=2+1/4=[2;4]=[2;3,1],\;}
−
4.2
=
−
5
+
4
/
5
=
[
−
5
;
1
,
4
]
=
[
−
5
;
1
,
3
,
1
]
.
{\displaystyle -4.2=-5+4/5=[-5;1,4]=[-5;1,3,1].\;}
Liên phân số vô hạn là số vô tỉ . Và mọi số vô tỉ đều được biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn.
sửa
Trong đó, đáng chú ý là các liên phân số vô hạn tuần hoàn, tức là các thành phần lập lại theo một cách tuần hoàn.
Ví dụ:
[1;2,2,2,2,2,2,...] với các số 2 lặp lại tuần hoàn;
[0;2,3,4,2,3,4,2,3,4,...]với 2,3,4 lặp lại tuần hoàn.
Các liên phân số tuần hoàn chính là nghiệm của 1 đa thức bậc hai nào đó với các hệ số nguyên.
Ví dụ:
[
1
;
2
,
2
,
2
,
.
.
.
]
=
2
{\displaystyle [1;2,2,2,...]={\sqrt {2}}}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
[
0
;
2
,
3
,
4
,
2
,
3
,
4
,
2
,
3
,
4
,
.
.
.
]
=
−
27
14
+
1
14
1
093
{\displaystyle [0;2,3,4,2,3,4,2,3,4,...]={-27 \over 14}+{1 \over 14}{\sqrt {1}}093}
7
x
2
+
27
x
−
13.
{\displaystyle 7x^{2}+27x-13.}
sửa
Cho số thực r có dạng liên phân số là:
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
,
…
,
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n},\,\ldots ,]}
Từ công thức biểu diễn trên, có thể xây dựng một dãy số hữu tỉ (hữu hạn hoặc vô hạn) hội tụ đến r, dãy này gọi là dãy giản phân:
h
0
k
0
=
a
0
1
;
{\displaystyle {\frac {h_{0}}{k_{0}}}={\frac {a_{0}}{1}};}
h
1
k
1
=
[
a
0
;
a
1
]
=
a
0
+
1
a
1
=
a
0
a
1
+
1
a
1
;
{\displaystyle {\frac {h_{1}}{k_{1}}}=[a_{0};a_{1}]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}}}={\frac {a_{0}a_{1}+1}{a_{1}}};}
h
2
k
2
=
a
2
(
a
1
a
0
+
1
)
+
a
0
a
2
a
1
+
1
;
{\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}};}
h
3
k
3
=
a
3
(
a
2
(
a
1
a
0
+
1
)
+
a
0
)
+
(
a
1
a
0
+
1
)
a
3
(
a
2
a
1
+
1
)
+
a
1
;
{\displaystyle {\frac {h_{3}}{k_{3}}}={\frac {a_{3}(a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0})+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}};}
...
h
n
k
n
=
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
]
;
{\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}];}
...
Đặt
r
n
=
h
n
k
n
{\displaystyle {r_{n}}={\frac {h_{n}}{k_{n}}}}
Ví dụ, dãy giản phân của 0,84375 (dạng liên phân số là [0;1,5,2,2]):
[0;1]
[0;1,3]
[0;1,4]
[0;1,5]
[0;1,5,2]
[0;1,5,2,1]
[0;1,5,2,2]
1
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
4
5
{\displaystyle {\tfrac {4}{5}}}
5
6
{\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}
11
13
{\displaystyle {\tfrac {11}{13}}}
16
19
{\displaystyle {\tfrac {16}{19}}}
27
32
{\displaystyle {\tfrac {27}{32}}}
Dãy giản phân {
h
n
k
n
{\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}}
Dãy {
h
n
k
n
{\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}}
Trước hết ta xét 1 tính chất khá lý thú:
Với số thực bất kì
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
−
1
,
x
]
=
x
h
n
−
1
+
h
n
−
2
x
k
n
−
1
+
k
n
−
2
.
{\displaystyle \left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.}
Từ tính chất trên có thể tính
h
n
,
k
n
{\displaystyle {h_{n}},{k_{n}}}
h
n
=
a
n
h
n
−
1
+
h
n
−
2
{\displaystyle h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}\,}
h
−
1
=
1
{\displaystyle h_{-1}=1\,}
h
−
2
=
0
{\displaystyle h_{-2}=0\,}
k
n
=
a
n
k
n
−
1
+
k
n
−
2
{\displaystyle k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}\,}
k
−
1
=
0
{\displaystyle k_{-1}=0\,}
k
−
2
=
1
{\displaystyle k_{-2}=1\,}
sửa
Nếu giản phân thứ n là
h
n
/
k
n
{\displaystyle h_{n}/k_{n}}
k
n
h
n
−
1
−
k
n
−
1
h
n
=
(
−
1
)
n
.
{\displaystyle k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}.\,}
Hệ quả:
h
n
k
n
{\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}}
phân số tối giản .
h
n
k
n
−
h
n
−
1
k
n
−
1
=
h
n
k
n
−
1
−
k
n
h
n
−
1
k
n
k
n
−
1
=
−
(
−
1
)
n
k
n
k
n
−
1
.
{\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}={\frac {h_{n}k_{n-1}-k_{n}h_{n-1}}{k_{n}k_{n-1}}}={\frac {-(-1)^{n}}{k_{n}k_{n-1}}}.}
sửa
Nếu mà chỉ số với s < t < n thì:
|
r
s
−
r
n
|
>
|
r
t
−
r
n
|
{\displaystyle \left|r_{s}-r_{n}\right|>\left|r_{t}-r_{n}\right|}
sửa
Các phân số ở vị trí chẵn (
h
0
k
0
{\displaystyle {\frac {h_{0}}{k_{0}}}}
h
2
k
2
{\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}}
h
0
k
0
{\displaystyle {\frac {h_{0}}{k_{0}}}}
h
2
k
2
{\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}}
h
4
k
4
{\displaystyle {\frac {h_{4}}{k_{4}}}}
Các phân số ở vị trí lẻ (
h
1
k
1
{\displaystyle {\frac {h_{1}}{k_{1}}}}
h
3
k
3
{\displaystyle {\frac {h_{3}}{k_{3}}}}
h
1
k
1
{\displaystyle {\frac {h_{1}}{k_{1}}}}
h
3
k
3
{\displaystyle {\frac {h_{3}}{k_{3}}}}
h
5
k
5
{\displaystyle {\frac {h_{5}}{k_{5}}}}
sửa
Các tính chất ở trên cho phép ta đánh giá độ sai số của các giản phân trong chuỗi so với số thực ban đầu
1
k
n
(
k
n
+
1
+
k
n
)
<
|
r
−
h
n
k
n
|
<
1
k
n
k
n
+
1
.
{\displaystyle {\frac {1}{k_{n}(k_{n+1}+k_{n})}}<\left|r-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}\right|<{\frac {1}{k_{n}k_{n+1}}}.}
sửa
Cho số thực dương r, nếu biết dạng liên phân số của nó là
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]}
yêu cầu đặt ra là tìm dạng liên phân số của nghịch đảo 1/r.
Xét 2 trường hợp:
nếu r>1, tức là
a
0
>
1
{\displaystyle a_{0}>1}
[
0
;
a
0
,
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
]
{\displaystyle [0;a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]}
nếu 0<r<1, tức là
a
0
=
0
{\displaystyle a_{0}=0}
[
a
1
;
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
]
{\displaystyle [a_{1};a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]}
Ví dụ:
2.25
=
9
4
=
[
2
;
4
]
{\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]}
1
2.25
=
4
9
=
[
0
;
2
,
4
]
{\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]}
15
17
=
[
0
;
1
,
7
,
2
]
{\displaystyle {\frac {15}{17}}=[0;1,7,2]}
17
15
=
[
1
;
7
,
2
]
{\displaystyle {\frac {17}{15}}=[1;7,2]}
sửa
π
{\displaystyle \pi }
sửa
Biểu diễn liên phân số chính tắc của số
π
{\displaystyle \pi }
π
=
[
3
;
7
,
15
,
1
,
292
,
1
,
1
,
1
,
2
,
1
,
3
,
1
,
14
,
2
,
1
,
1
,
2
,
2
,
2
,
2
,
1
,
84
,
⋯
]
{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]}
π
=
3
+
1
7
+
1
15
+
1
1
+
1
292
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
1
2
+
1
1
+
1
3
+
1
1
+
1
14
+
1
2
+
1
1
+
1
1
+
⋱
{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
Từ biểu diễn đó, ta tìm ra được các số hữu tỉ gần đúng với π là:
3
1
,
22
7
,
333
106
,
355
113
,
…
{\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},\,\ldots }
Các thành phần trong liên phân số chính tắc (với các tử số bằng 1) của số π, không hề tuân theo một quy luật nào.
Tuy vậy các cách biểu diễn liên phân số khác (không chính tắc) của π lại có quy luật:
π
=
4
1
+
1
2
2
+
3
2
2
+
5
2
2
+
7
2
2
+
9
2
2
+
⋱
=
3
+
1
2
6
+
3
2
6
+
5
2
6
+
7
2
6
+
9
2
6
+
⋱
=
4
1
+
1
2
3
+
2
2
5
+
3
2
7
+
4
2
9
+
⋱
{\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
sửa
Trong khi dạng liên phân số đơn giản của π không có quy luật, điều này lại không đúng với trường hợp của e:
e
=
e
1
=
[
2
;
1
,
2
,
1
,
1
,
4
,
1
,
1
,
6
,
1
,
1
,
8
,
1
,
1
,
10
,
1
,
1
,
12
,
1
,
1
,
…
]
,
{\displaystyle e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ]\,\!,}
tổng quát hơn,:
e
1
/
n
=
[
1
;
n
−
1
,
1
,
1
,
3
n
−
1
,
1
,
1
,
5
n
−
1
,
1
,
1
,
7
n
−
1
,
1
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}
và:
e
2
/
n
=
[
1
;
n
−
1
2
,
6
n
,
5
n
−
1
2
,
1
,
1
,
7
n
−
1
2
,
18
n
,
11
n
−
1
2
,
1
,
1
,
13
n
−
1
2
,
30
n
,
17
n
−
1
2
,
1
,
1
,
…
]
,
{\displaystyle e^{2/n}=\left[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,{\frac {7n-1}{2}},18n,{\frac {11n-1}{2}},1,1,{\frac {13n-1}{2}},30n,{\frac {17n-1}{2}},1,1,\dots \right]\,\!,}
với n = 1:
e
2
=
[
7
;
2
,
1
,
1
,
3
,
18
,
5
,
1
,
1
,
6
,
30
,
8
,
1
,
1
,
9
,
42
,
11
,
1
,
1
,
12
,
54
,
14
,
1
,
1
…
,
3
k
,
12
k
+
6
,
3
k
+
2
,
1
,
1
…
]
.
{\displaystyle e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1\dots ]\,\!.}
tan
(
1
/
n
)
=
[
0
;
n
,
3
n
,
5
n
,
7
n
,
9
n
,
11
n
,
13
n
,
15
n
,
17
n
,
19
n
,
…
]
{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!}
với n là số nguyên dương.
tan
(
1
/
n
)
=
[
0
;
n
−
1
,
1
,
3
n
−
2
,
1
,
5
n
−
2
,
1
,
7
n
−
2
,
1
,
9
n
−
2
,
1
,
…
]
,
{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,}
trường hợp riêng n = 1:
tan
(
1
)
=
[
1
;
1
,
1
,
3
,
1
,
5
,
1
,
7
,
1
,
9
,
1
,
11
,
1
,
13
,
1
,
15
,
1
,
17
,
1
,
19
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.}
sửa
^ [1] Does (a/b-1/b², a/b+1/b²) cover the real axis?
Jones, William B.; Thron, W. J. (1980). Continued Fractions: Analytic Theory and Applications. Encyclopedia of Mathematics and its Applications . Quyển 11. Reading. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-13510-8 A. Ya. Khinchin , Continued Fractions , 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8 Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.Andrew M. Rockett and Peter Szusz, Continued Fractions , World Scientific Press, 1992 ISBN 978-9-81-021052-6
H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ISBN 0-8284-0207-8
A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland, W.B. Jones, Handbook of Continued fractions for Special functions , Springer Verlag, 2008 ISBN 978-1-4020-6948-2 
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ea58074ba2e2988c67e46447b914ebf50eb1b6)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5e267714f53d89d9c563d18a97ca3104866499)
![{\displaystyle 2.25=2+1/4=[2;4]=[2;3,1],\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953242624a51d73c620704a70682333503f17c59)
![{\displaystyle -4.2=-5+4/5=[-5;1,4]=[-5;1,3,1].\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d0784f9aa14d887e056092524d80005b5b02f0)
![{\displaystyle [1;2,2,2,...]={\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccda134bea240e615ca29f896fce02b4f6012a6)
![{\displaystyle [0;2,3,4,2,3,4,2,3,4,...]={-27 \over 14}+{1 \over 14}{\sqrt {1}}093}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6600b7534cc430b35f775715b3a132caed2c1d8)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n},\,\ldots ,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab942f3891d0582158588b674eac461104e0c6d6)
![{\displaystyle {\frac {h_{1}}{k_{1}}}=[a_{0};a_{1}]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}}}={\frac {a_{0}a_{1}+1}{a_{1}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84e37c7287d814eecaffc3ac2d6f8ee9b3cc614)
![{\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65df95f38e438a10aaebcec91de890ab4c4e7b4b)
![{\displaystyle \left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b715030affd13d156d49ebc5c3a51e41f420b2)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1533d641bf33e76774d9d7a831dea1d286a245)
![{\displaystyle [0;a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe24d8fa882840d007abddba1274f6c2661df38b)
![{\displaystyle [a_{1};a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd7251002115c32a88d2b30bc3eb272986cfae4)
![{\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/036681a2e2aeb96f756b8747415014be2408ffef)
![{\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6018b6136e762f15bb9a9344904c10e9aa56b822)
![{\displaystyle {\frac {15}{17}}=[0;1,7,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23dfd2ac622548804abf292a338966b6baa8462)
![{\displaystyle {\frac {17}{15}}=[1;7,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/965bca5c052cc8af00ccd576e3db70fc97a8071e)
![{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec4d08b565377b9b786c48d09bd265d62339d27)
![{\displaystyle e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ]\,\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ba494afc1445dd484c8fd7d8c0b7c35f584971)
![{\displaystyle e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361b5e0e5f76515b0d6ad7810c5eec23de8e95fd)
![{\displaystyle e^{2/n}=\left[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,{\frac {7n-1}{2}},18n,{\frac {11n-1}{2}},1,1,{\frac {13n-1}{2}},30n,{\frac {17n-1}{2}},1,1,\dots \right]\,\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07eb8d6c5d64d3683fe414862a766e97a6559971)
![{\displaystyle e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6165fcda38a93483d08d0d4a157819990e6ff894)
![{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2ff84d5118814a259bb061d6f5e340c968415a)
![{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2a043635e6e94c9c5926c898da1c3e83c35389)
![{\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e34a7609c1049343f7f1cb8fb04eb6fcdea128b)