Liên phân số

Liên phân số (tiếng Anh: continued fraction) còn gọi là liên phân số là một dạng biểu diễn các số thực dương, cả hữu tỷ và vô tỷ, dưới dạng một phân số nhiều tầng. Ví dụ:

${\frac {9}{7}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{2}}}}$

Liên phân số đóng vai trò rất lớn trong việc nghiên cứu lý thuyết số.

Định nghĩa

Liên phân số ở dạng chính tắc là biểu thức có dạng

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,\ddots }}}}}}$

trong đó a₀ là một số nguyên không âm và tất cả các số a_n là số nguyên dương.

Liên phân số có thể biểu diễn chính xác các số thực.

Dạng tổng quát hơn là:

$x=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\,\ddots }}}}}}$

trong đó b_n là số nguyên dương.

Chúng ta thường quen với biểu diễn thập phân của số thực:

$r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i}$

trong đó a₀, là số nguyên bất kỳ, còn mỗi số a_i là một phần tử của {0, 1, 2,..., 9}. Trong cách biểu diễn này, số Pi biểu diễn bởi dãy {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...}.

Tuy thế, theo cách biểu này có một số giới hạn. Một trong các vấn đề đó là sự tùy ý của cơ số 10. Tại sao là 10? Phải chăng là từ các yếu tố sinh học chứ không phải toán học (mỗi người chúng ta có 10 ngón tay); thay vì cơ số 10 ta có thể dùng cơ số 8 hoặc 2. Một vấn đề khác biểu diễn của các số hữu tỷ ${\frac {p}{q}}$ với q lớn hơn 1, trong hệ thập phân là vô hạn, chẳng hạn số ⅓ được biểu diễn bởi dãy vô hạn {0, 3, 3, 3, 3,....}. Vấn đề thứ ba là các biểu diễn của một số là không duy nhất; chẳng hạn, số 1 có thể biểu diễn bằng cách khác 0.999...=1.

Liên phân số đưa ra một cách biểu diễn số thực giải quyết cả ba vấn đề trên. Chẳng hạn, xét số 415/93, phần nguyên của phân số này là 4, phần lẻ của nó là số Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “http://localhost:6011/vi.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \frac {43} {93}} xấp xỉ với ${\frac {1}{2}}$, ta muốn giữ nguyên tử số 1 thay mẫu số 2 bằng một số khác, chính xác hơn là $2+{\frac {7}{43}}$, khi đó có thể viết

${\frac {415}{93}}=4+{\frac {43}{93}}=4+{\cfrac {1}{\cfrac {93}{43}}}=4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {7}{43}}}}=4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\cfrac {43}{7}}}}}=4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{7}}}}}}$.

Thay cho cách viết cồng kềnh trên ta quy ước viết

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “http://localhost:6011/vi.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \frac {415}{93}= 4+ \frac 1 {2+}+\frac 1 {6+} +\frac 1 {7}}

hay đơn giản là 415/93= 4+1/(2+1/(6+1/7)),

hay đơn giản hơn nữa 415/93= [4; 2, 6, 7].

Có thể chứng minh rằng: Dạng liên phân số của một số là hữu hạn khi và chi khi số đó là hữu tỷ. Và dạng liên phân số của một số là vô hạn khi và chỉ khi số đó là vô tỷ.

Thuật toán biểu diễn số thực bằng liên phân số chính tắc

Thuật toán sau là một cách đơn giản để biểu diễn số thực bất kì dưới dạng liên phân số chính tắc:

Cho số thực r, ký hiệu i là phần nguyên của r, f là phần thập phân của r. Biểu diễn liên phân số của r là [i; a₁, a₂,...], trong đó [a₁; a₂,...] là dạng biểu diễn liên phân số của 1/f. Nếu như f=0 thì thuật toán dừng lại, trong trường hợp f khác 0, ta lặp lại các bước trên với r thay bằng 1/f.

Ví dụ cho r= 4,345. Như vậy i= 4, f= 0,345. Bảng sau mô tả các bước tìm biểu diễn liên phân số của r.

Tìm dạng biểu diễn liên phân số của 4,345
Số thực	Phần nguyên (floor)	Phần thập phân	Rút gọn của phần thập phân	Nghịch đảo của $f$	Rút gọn của $1/f$
$r=4,345\,$	$i=4\,$	$f=4,345\ \left(4{\tfrac {69}{200}}\right)-4\,$	$=0,345\ \left({\tfrac {69}{200}}\right)\,$	$1/f=1/0,345\ \left({\tfrac {200}{69}}\right)\,$	$=2,899\ \left(2{\tfrac {62}{69}}\right)\,$
$r=2,899\,$	$i=2\,$	$f=2,899\ \left(2{\tfrac {200}{69}}\right)-2\,$	$=0,899\ \left({\tfrac {62}{69}}\right)\,$	$1/f=1/0,899\ \left({\tfrac {69}{62}}\right)\,$	$=1,113\ \left(1{\tfrac {7}{62}}\right)\,$
$r=1,113\,$	$i=1\,$	$f=1,113\ \left(1{\tfrac {7}{62}}\right)-1\,$	$=0,113\ \left({\tfrac {7}{62}}\right)\,$	$1/f=1/0,113\ \left({\tfrac {62}{7}}\right)\,$	$=8,857\ \left(8{\tfrac {6}{7}}\right)\,$
$r=8,857\,$	$i=8\,$	$f=8,857\ \left(8{\tfrac {6}{7}}\right)-8\,$	$=0,857\ \left({\tfrac {6}{7}}\right)\,$	$1/f=1/0,857\ \left({\tfrac {7}{6}}\right)\,$	$=1,167\ \left(1{\tfrac {1}{6}}\right)\,$
$r=1,167\,$	$i=1\,$	$f=1,167\ \left(1{\tfrac {1}{6}}\right)-1\,$	$=0,167\ \left({\tfrac {1}{6}}\right)\,$	$1/f=1/0,167\ \left({\tfrac {6}{1}}\right)\,$	$=6,000\ \left(1{\tfrac {6}{1}}\right)\,$
$r=6,000\,$	$i=6\,$	$f=6,000\ \left(6\right)-6\,$	$=0,000\,$	Dừng
Biểu diễn liên phân số của 4,345 là [4; 2, 1, 8, 1, 6]
Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “http://localhost:6011/vi.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle 4,345 = 4 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6}}}}} }

Số 4,345 là một số hữu tỉ, do đó biểu diễn liên phân số của nó hữu hạn.

Liên phân số hữu hạn

Liên phân số hữu hạn biểu diễn số hữu tỉ. Ngược lại, một số hữu tỉ bất kì có thể biểu diễn bằng liên phân số hữu hạn theo 2 cách:

Cách thứ nhất, bằng thuật toán nêu ở phần thuật toán biểu diễn số thực bằng liên phân số, ta được liên phân số

$[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]$.

Cách thứ hai, từ biểu diễn ở cách thứ nhất, ta bớt đi 1 đơn vị ở thành phần cuối, và thêm vào sau nó một thành phần đúng bằng 1.

$[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}-1,1]$.

Hai cách biểu diễn trên là tương đương nhau vì:

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n-1}+{\frac {1}{a_{n}}}}}}}}}}}}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n-1}+{\frac {1}{(a_{n}-1)+{\frac {1}{1}}}}}}}}}}}}}}$

Ví dụ:

$2.25=2+1/4=[2;4]=[2;3,1],\;$

$-4.2=-5+4/5=[-5;1,4]=[-5;1,3,1].\;$

Liên phân số vô hạn

Liên phân số vô hạn là số vô tỉ. Và mọi số vô tỉ đều được biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn.

Liên phân số vô hạn tuần hoàn

Trong đó, đáng chú ý là các liên phân số vô hạn tuần hoàn, tức là các thành phần lập lại theo một cách tuần hoàn.

Ví dụ:

[1;2,2,2,2,2,2,...] với các số 2 lặp lại tuần hoàn;

[0;2,3,4,2,3,4,2,3,4,...]với 2,3,4 lặp lại tuần hoàn.

Các liên phân số tuần hoàn chính là nghiệm của 1 đa thức bậc hai nào đó với các hệ số nguyên.

Ví dụ:

$[1;2,2,2,...]={\sqrt {2}}$ là nghiệm của đa thức bậc hai $x^{2}-2$.

$[0;2,3,4,2,3,4,2,3,4,...]={-27 \over 14}+{1 \over 14}{\sqrt {1}}093$ là nghiệm của đa thức bậc hai $7x^{2}+27x-13.$

Dãy giản phân của số thực

Cho số thực r có dạng liên phân số là:$[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n},\,\ldots ,]$ (có thể hữu hạn hoặc vô hạn).

Từ công thức biểu diễn trên, có thể xây dựng một dãy số hữu tỉ (hữu hạn hoặc vô hạn) hội tụ đến r, dãy này gọi là dãy giản phân:

${\frac {h_{0}}{k_{0}}}={\frac {a_{0}}{1}};$

${\frac {h_{1}}{k_{1}}}=[a_{0};a_{1}]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}}}={\frac {a_{0}a_{1}+1}{a_{1}}};$

${\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}};$

${\frac {h_{3}}{k_{3}}}={\frac {a_{3}(a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0})+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}};$

...

${\frac {h_{n}}{k_{n}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}];$ (*)

...

Đặt ${r_{n}}={\frac {h_{n}}{k_{n}}}$.

Ví dụ, dãy giản phân của 0,84375 (dạng liên phân số là [0;1,5,2,2]):

[0;1]	[0;1,3]	[0;1,4]	[0;1,5]	[0;1,5,2]	[0;1,5,2,1]	[0;1,5,2,2]
1	${\tfrac {3}{4}}$	${\tfrac {4}{5}}$	${\tfrac {5}{6}}$	${\tfrac {11}{13}}$	${\tfrac {16}{19}}$	${\tfrac {27}{32}}$

Dãy giản phân {Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “http://localhost:6011/vi.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \frac {h_{n}} {k_{n}}} } có các tính chất sau:

Tính hội tụ của dãy

Dãy {Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “http://localhost:6011/vi.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \frac {h_{n}} {k_{n}}} } hội tụ, và giới hạn của nó là r.

Công thức truy hồi

Trước hết ta xét 1 tính chất khá lý thú:

Với số thực bất kì $x\in \mathbb {R}$

$\left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.$

Từ tính chất trên có thể tính ${h_{n}},{k_{n}}$ theo công thức tổng quát (*), hoặc theo công thức truy hồi sau (chứng minh xem bằng quy nạp rất đơn giản):

$h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}\,$			$h_{-1}=1\,$		$h_{-2}=0\,$
$k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}\,$			$k_{-1}=0\,$		$k_{-2}=1\,$

Liên hệ giữa tử số và mẫu số

Nếu giản phân thứ n là $h_{n}/k_{n}$, thì

$k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}.\,$

Hệ quả: Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “http://localhost:6011/vi.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \frac {h_{n}} {k_{n}}} là phân số tối giản.

${\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}={\frac {h_{n}k_{n-1}-k_{n}h_{n-1}}{k_{n}k_{n-1}}}={\frac {-(-1)^{n}}{k_{n}k_{n-1}}}.$

Khoảng cách trong dãy giản phân xây dựng bởi liên phân số của r

Nếu mà chỉ số với s < t < n thì:

$\left|r_{s}-r_{n}\right|>\left|r_{t}-r_{n}\right|$.

Sự biến thiên của dãy

Các phân số ở vị trí chẵn (${\frac {h_{0}}{k_{0}}}$, ${\frac {h_{2}}{k_{2}}}$,...) luôn bé hơn r, và tăng dần:

${\frac {h_{0}}{k_{0}}}$ < ${\frac {h_{2}}{k_{2}}}$ < ${\frac {h_{4}}{k_{4}}}$ <...< r.

Các phân số ở vị trí lẻ (${\frac {h_{1}}{k_{1}}}$, ${\frac {h_{3}}{k_{3}}}$,...) luôn lớn hơn r, và giảm dần:

${\frac {h_{1}}{k_{1}}}$ > ${\frac {h_{3}}{k_{3}}}$ > ${\frac {h_{5}}{k_{5}}}$ >... > r.

Độ xấp xỉ của các giản phân so với số thực mà chúng xấp xỉ

Các tính chất ở trên cho phép ta đánh giá độ sai số của các giản phân trong chuỗi so với số thực ban đầu

${\frac {1}{k_{n}(k_{n+1}+k_{n})}}<\left|r-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}\right|<{\frac {1}{k_{n}k_{n+1}}}.$

Chứng minh

Chứng minh vế phải của bất đẳng thức (chứng minh này được trích dẫn từ ):

$|z-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}|<{\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}$ (**)

Với

${\frac {h_{n}}{k_{n}}}=a_{0}+$ Σ_i=0→(n-1) ${\frac {(-1)^{i}}{k_{i}.k_{i+1}}}$

$|z-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}|=|$ Σ_i=n→+∞ ${\frac {(-1)^{i}}{k_{i}.k_{i+1}}}|$.

Từ công thức:

$k_{i+2}=a_{i+2}.k_{i+1}+k_{i}>k_{i+1}$, suy ra

${\frac {1}{k_{i}.k_{i+1}}}>{\frac {1}{k_{i+1}.k_{i+2}}}$ với mọi i ≥ 0. (***)

Áp dụng (***):

$|$ Σ_i=n→+∞ ${\frac {(-1)^{i}}{k_{i}.k_{i+1}}}|$

$={{\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}-{\frac {1}{k_{n+1}.k_{n+2}}}}+{{\frac {1}{k_{n+2}.k_{n+3}}}-{\frac {1}{k_{n+3}.k_{n+4}}}}+\ldots +{{\frac {1}{k_{n+2i}k_{n+2i+1}}}-{\frac {1}{k_{n+2i+1}.k_{n+2i+2}}}}+\ldots$

$<{{\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}-{\frac {1}{k_{n+1}.k_{n+2}}}}+({{\frac {1}{k_{n+1}k_{n+2}}}-{\frac {1}{k_{n+2}k_{n+3}}}})+{{\frac {1}{k_{n+2}.k_{n+3}}}-{\frac {1}{k_{n+3}.k_{n+4}}}}+({{\frac {1}{k_{n+3}k_{n+4}}}-{\frac {1}{k_{n+4}k_{n+5}}}})+\ldots +{{\frac {1}{k_{n+2i}k_{n+2i+1}}}-{\frac {1}{k_{n+2i+1}.k_{n+2i+2}}}}+({{\frac {1}{k_{n+2i+1}k_{n+2i+2}}}-{\frac {1}{k_{n+2i+2}k_{n+2i+3}}}})+\ldots$

$={\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}+(-{\frac {1}{k_{n+1}.k_{n+2}}}+{\frac {1}{k_{n+1}k_{n+2}}})+(-{\frac {1}{k_{n+2}k_{n+3}}}+{\frac {1}{k_{n+2}.k_{n+3}}})+(-{\frac {1}{k_{n+3}.k_{n+4}}}+{\frac {1}{k_{n+3}k_{n+4}}})+(-{\frac {1}{k_{n+4}k_{n+5}}}+{\frac {1}{k_{n+4}k_{n+5}}})+\ldots +(-{\frac {1}{k_{n+2i+1}.k_{n+2i+2}}}+{\frac {1}{k_{n+2i+1}k_{n+2i+2}}})+\ldots$

$={\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}+0+0+0+0+\ldots .+0+0+\ldots$

$={\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}$.

Suy ra (**) đúng.

Liên phân số của Nghịch đảo

Cho số thực dương r, nếu biết dạng liên phân số của nó là

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]$

yêu cầu đặt ra là tìm dạng liên phân số của nghịch đảo 1/r.

Xét 2 trường hợp:

• nếu r>1, tức là $a_{0}>1$ thì liên phân số của 1/r là:

$[0;a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]$;

• nếu 0<r<1, tức là $a_{0}=0$ thì liên phân số của 1/r là:

$[a_{1};a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}]$.

Ví dụ:

$2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]$, ${\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]$;

${\frac {15}{17}}=[0;1,7,2]$, ${\frac {17}{15}}=[1;7,2]$.

Biểu diễn liên phân số của các số thực đặc biệt

Biểu diễn liên phân số của số $\pi$

Biểu diễn liên phân số chính tắc của số $\pi$:

$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]$.

$\pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Từ biểu diễn đó, ta tìm ra được các số hữu tỉ gần đúng với π là:

${\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},\,\ldots$.

Các thành phần trong liên phân số chính tắc (với các tử số bằng 1) của số π, không hề tuân theo một quy luật nào.

Tuy vậy các cách biểu diễn liên phân số khác (không chính tắc) của π lại có quy luật:

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

Biểu diễn liên phân số của số e và các dạng khác của nó

Trong khi dạng liên phân số đơn giản của π không có quy luật, điều này lại không đúng với trường hợp của e:

$e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ]\,\!,$

tổng quát hơn,:

$e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.$

và:

$e^{2/n}=\left[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,{\frac {7n-1}{2}},18n,{\frac {11n-1}{2}},1,1,{\frac {13n-1}{2}},30n,{\frac {17n-1}{2}},1,1,\dots \right]\,\!,$

với n = 1:

$e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1\dots ]\,\!.$

Các số thực khác

$\tan(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!$

với n là số nguyên dương.

$\tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,$

trường hợp riêng n = 1:

$\tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.$

Một số định lý và bài toán ứng dụng liên phân số

Phương trình Pell

Xem phần ứng dụng dùng liên phân số để giải phương trình Pell ở bài phương trình Pell.

Tham khảo

• Jones, William B.; Thron, W. J. (1980). Continued Fractions: Analytic Theory and Applications. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 11. Reading. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-13510-8.
• A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8
• Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.
• Andrew M. Rockett and Peter Szusz, Continued Fractions, World Scientific Press, 1992 ISBN 978-9-81-021052-6
• H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ISBN 0-8284-0207-8
• A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland, W.B. Jones, Handbook of Continued fractions for Special functions, Springer Verlag, 2008 ISBN 978-1-4020-6948-2

Liên kết ngoài

• Linas Vepstas Continued Fractions and Gaps (2004) reviews chaotic structures in continued fractions.
• Continued Fractions on the Stern-Brocot Tree at cut-the-knot
• The Antikythera Mechanism I: Gear ratios and continued fractions Lưu trữ 2009-05-04 tại Wayback Machine
• Continued Fraction Arithmetic Gosper's first continued fractions paper, unpublished. Cached on the Internet Archive's Wayback Machine
• Weisstein, Eric W., "Continued Fraction" từ MathWorld.
• Continued Fractions by Stephen Wolfram and Continued Fraction Approximations of the Tangent Function by Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project.
• Exact Continued Fraction for Pi
• Continued Fractions and Continuants