Phương trình Navier–Stokes

Phương trình Navier-Stokes, được đặt tên theo Claude-Louis Navier và George Gabriel Stokes, miêu tả dòng chảy của các chất lỏng và khí (gọi chung là chất lưu). Những phương trình này thiết lập trên cơ sở biến thiên động lượng trong những thể tích vô cùng nhỏ của chất lưu đơn thuần chỉ là tổng của các lực nhớt tiêu tán (tương tự như ma sát), biến đổi áp suất, trọng lực, và các lực khác tác động lên chất lưu - một ứng dụng của định luật 2 của Newton.

Cơ học môi trường liên tục

Nguyên lý Bernoulli Định luật Bảo toàn khối lượng Bảo toàn động lượng Bảo toàn năng lượng Bất đẳng thức Entropy Clausius-Duhem Cơ học chất rắn Chất rắn · Ứng suất · Biến dạng * Biến dạng dẻo · Thuyết sức căng tới hạn · Infinitesimal strain theory · Đàn hồi · Đàn hồi tuyến tính · độ dẻo · Đàn nhớt · Định luật Hooke · Lưu biến học * Uốn Cơ học chất lưu Chất lưu · Thủy tĩnh học Động học chất lưu * Lực đẩy Archimedes * Phương trình Bernoulli * Phương trình Navier-Stokes * Dòng chảy Poiseuille * Định luật Pascal · Độ nhớt · Chất lưu Newton Chất lưu phi Newton Sức căng bề mặt * Áp suất

Thiết lập phương trình

Phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ sự bảo toàn của khối lượng, động lượng, và năng lượng được viết cho một thể tích đang xem xét bất kì. Dạng tổng quát nhất của hệ phương trình Navier-Stokes là:

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbb {T} +\mathbf {f}$

Đây chỉ là định luật bảo toàn động lượng trong một chất lưu, chỉ là áp dụng định luật 2 của Newton cho một môi trường liên tục (continuum). Phương trình này thường được viết dưới dạng đạo hàm vật chất (substantive derivative hoặc material derivative), làm rõ đây chỉ là một áp dụng của định luật 2 Newton:

$\rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbb {T} +\mathbf {f}$

Vế phải của phương trình này là tổng của các lực tác động lên vật thể. $\nabla p$ là gradient áp suất xuất hiện trong bất kì chất lưu nào. $\nabla \cdot \mathbb {T}$ đại diện cho các lực biến dạng trong chất lỏng, thông thường là do các hiệu ứng của tính nhớt. $\mathbf {f}$ đại diện cho các lực "khác", như là trọng lực.

Độ căng của sự biến dạng $\nabla \cdot \mathbb {T}$ thường chứa nhiều ẩn số, vì vậy dạng tổng quát đó không thể áp dụng trực tiếp được cho bất kì bài toán nào. Vì vậy, các giả thiết về các hành vi biến dạng của một chất lỏng được đưa ra (dựa trên các quan sát trong tự nhiên) và giản hóa đại lượng này về các biến quen thuộc khác, ví dụ như vận tốc. Ví dụ, đại lượng này thường rút về $\mu \nabla ^{2}\mathbf {v}$ khi chất lỏng là không nén được và có tính Newton.

Phương trình Navier-Stokes chỉ là một phát biểu của định luật bảo toàn động lượng. Để miêu tả toàn diện dòng chảy, cần phải có nhiều thông tin hơn (phụ thuộc vào các giả thiết đưa ra), bao gồm bảo toàn khối lượng, bảo toàn năng lượng, hay là một phương trình trạng thái.

Bất kể các giả thiết về các chất lưu như thế nào, một phát biểu của bảo toàn khối lượng là gần như thiết yếu. Điều này đạt được biểu diễn bởi phương trình liên tục, với dạng tổng quát nhất là:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )=0$

Dòng chảy không nén được của các chất lưu có tính Newton

Đa số các công trình nghiên cứu về phương trình Navier-Stokes được tiến hành dưới một giả thiết về một dòng chảy không nén được cho các chất lưu Newton. Giả thiết về dòng không nén được thường vẫn đúng khi xét đến các dòng chảy "nén được", ví dụ như là không khí ở nhiệt độ trong phòng (ngay cả khi dòng chảy lên đến tốc độ Mach 0.3). Nếu như xét thêm đến giả thiết về tính không nén được và giả sự độ nhớt của chất lỏng là hằng số, hệ phương trình Navier-Stokes sẽ được viết như sau (theo dạng vectơ):

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {F}$

f đại diện cho các lực "khác" trên từng đơn vị thể tích, như là trọng lực hay là lực ly tâm. Nếu quan sát ý nghĩa của từng hạng tử trong công thức:

$\overbrace {\rho {\Big (}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Gia tốc}}\\{\text{tức thời}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Gia tốc}}\\{\text{đối lưu}}\end{smallmatrix}}{\Big )}} ^{\text{Quán tính}}=\underbrace {-\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Gradient}}\\{\text{áp suất}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} } _{\text{độ nhớt}}+\underbrace {\mathbf {f} } _{\begin{smallmatrix}{\text{lực}}\\{\text{khác}}\end{smallmatrix}}$

có thể nhận thấy rằng chỉ có các hạng tử đối lưu là phi tuyến cho các chất lưu Newton không nén được. Gia tốc đối lưu chỉ là một gia tốc gây ra bởi một thay đổi (có thể là đều) trong vận tốc so với vị trí, ví dụ như là gia tốc của dòng chảy khi đi qua một ống phụt (nozzle) hội tụ. Mặc dù từng phần tử riêng rẽ của dòng chảy đã được gia tốc nhưng trường của dòng chảy (sự phân bố của vận tốc) không cần phải phụ thuộc vào thời gian.

Một quan sát quan trọng khác là độ nhớt được đại diện bằng toán tử Laplace của trường vectơ vận tốc. Từ điều này có thể suy ra rằng độ nhớt mang tính Newton là sự tiêu tán động lượng, cũng giống như là sự tiêu tán của nhiệt được thấy trong phương trình nhiệt (liên quan đến toán tử Laplace).

Nếu ảnh hưởng của nhiệt độ không đáng kể, thì cần có một phương trình khác là phương trình liên tục. Với giả thiết không nén được, mật độ là hằng số thì phương trình sẽ đơn giản thành:

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0$

Đây là một phát biểu đặc biệt của định luật bảo toàn khối lượng (xem toán tử div).

Xem thêm

• Định lý lưu chuyển Reynolds
• Số Reynolds
• Số Mach
• Phương trình Navier-Stokes trung bình theo Reynolds
• Dòng nhiều pha
• Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant
• Tồn tại và sự trơn của nghiệm của phương trình Navier-Stokes

Tham khảo

• Inge L. Rhyming Dynamique des fluides, 1991 PPUR
• A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8

Liên kết ngoài

• Derivation and detailed discussion of Navier-Stokes equation
• Simplified derivation of the Navier-Stokes equations Lưu trữ 2017-11-29 tại Wayback Machine
• QEDen Millennium Prize Problems Wiki
• CFD online software list A compilation of codes, including Navier-Stokes solvers.