Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
K Thẻ: Thay thế nội dung Đã bị lùi lại Xóa trên 90% nội dung Soạn thảo trực quan |
n Đã lùi lại sửa đổi của 2402:800:610D:2216:CC64:60E1:939B:EA01 (Thảo luận) quay về phiên bản cuối của P1253 Thẻ: Lùi tất cả |
||
Dòng 1:
{{Chú thích trong bài}}{{Bài cùng tên|Bất đẳng thức Cauchy (định hướng)}}{{otheruses4|bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân|bất đẳng thức trong tích vectơ|Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz}}Trong [[toán học]], '''bất đẳng thức AM-GM '''là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của ''n'' số thực ''không âm''. Tên gọi đúng của bất đẳng thức này là '''bất đẳng thức AM-GM'''. Vì có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng cách chứng minh quy nạp của Cauchy được đánh giá là hiệu quả nhất nên nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức [[Viktor Yakovlevich Bunyakovsky|Bunyakovsky]] có tên là [[bất đẳng thức Cauchy-Schwarz]], còn bất đẳng thức Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means).
==Tổng quát==
'''Bất đẳng thức AM-GM '''có thể được phát biểu như sau:
:Trung bình cộng của ''n'' [[số thực]] ''không âm'' luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi ''n'' số đó bằng nhau.
:*Với 2 số thực dương a và b:
:::::<math>\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}</math> Dấu "=" xảy ra [[tương đương logic|khi và chỉ khi]] <math>a = b</math>
:*Với ''n'' số:
:::::<math>\frac{x_1 + x_2 +... + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1.x_2.....x_n}</math> , với n là số tự nhiên lớn hơn 1
:::Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi <math> x_1 = x_2 =... = x_n\,</math>
===Trung bình có hệ số===
Cho ''n'' số ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub> ≥ 0<br>
và các hệ số α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>,..., α<sub>''n''</sub> > 0
Đặt <math> \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n </math>.
Bất đẳng thức [[trung bình cộng]] và [[trung bình nhân]] cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số, như sau:
:<math>\frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}</math>
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi <math>x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math>
===Với các loại trung bình khác===
[[Trung bình điều hòa]] ≤ [[trung bình nhân]] ≤ [[Trung bình cộng đơn giản|trung bình cộng]]
:<math>\frac {n} {\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +... + \frac{1}{x_n}} \leq \sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}</math>
Đẳng thức khi và chỉ khi <math>x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math>
==Ví dụ ứng dụng==
Cho hàm số sau:
:<math>f(x,y,z) = \frac{x}{y} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt[3]{\frac{z}{x}}</math>
Với ''x'', ''y'' và ''z'' là các số thực dương. Giả sử rằng ta phải tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Biến đổi và áp dụng ''bất đẳng thức Cauchy'' ta có:
:{|
|<math>f(x,y,z)\,\;</math> || <math>= 6 \cdot \frac{ \frac{x}{y} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} + \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} + \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} + \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} }{6}</math>
|-
| || <!-- add a bit of space -->
|-
| || <math>\ge 6 \cdot \sqrt[6]{ \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} \cdot \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} \cdot \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} \cdot \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} }</math>
|-
| || <!-- add a bit of space -->
|-
| || <math>= 6 \cdot \sqrt[6]{ \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \frac{x}{y} \frac{y}{z} \frac{z}{x} }</math>
|-
| || <!-- add a bit of space -->
|-
| || <math>= 2^{2/3} \cdot 3^{1/2}</math>
|}
Vậy ta có giá trị nhỏ nhất của:
:<math>f(x,y,z) \mbox{là} 2^{2/3} \cdot 3^{1/2} \quad \mbox{khi} \quad \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}}.</math>
==Chứng minh bằng quy nạp==
Đặt:
:<math>\mu=\frac{\ x_1 + \cdots + x_n}n</math>
bất đẳng thức tương đương với<br />
''x''<sub>1</sub>,...,''x<sub>n</sub>'' là các [[số thực]] không âm, ta có:
:<math>\mu^n\ge x_1 x_2 \cdots x_n\,</math>
dấu bằng xảy ra nếu ''μ'' = ''x<sub>i</sub>'' với mọi ''i'' = 1,...,''n''.
Chứng minh dưới đây áp dụng phương pháp [[quy nạp toán học]].
'''Cơ sở''': với ''n'' = 1 bất đẳng thức đúng.
'''Giả thiết quy nạp: ''' giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n (n ≥ 1).
'''Quy nạp: ''' xét ''n'' + 1 một số thực không âm. Ta có:
:<math> (n+1)\mu=\ x_1 + \cdots + x_n + x_{n+1}.\,</math>
Nếu tất cả các số đều bằng ''μ'', thì ta có đẳng thức và đã được chứng minh. Ngược lại, ta sẽ tìm được ít nhất một số nhỏ hơn ''μ'' và một số lớn hơn ''μ'', không mất tính tổng quát, xem rằng: ''x<sub>n</sub>'' > ''μ'' và ''x''<sub>''n''+1</sub> < ''μ''. Ta có:
:<math>(x_n-\mu)(\mu-x_{n+1})>0\,.\qquad(*)</math>
Xét ''n'' số sau:
:<math>x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n'</math> với <math>x_n'=x_n+x_{n+1}-\mu\ge x_n-\mu>0\,,</math>
cũng là số không âm. Từ đó:
:<math>n\mu=x_1 + \cdots + x_{n-1} + \underbrace{x_n+x_{n+1}-\mu}_{=\,x_n'},</math>
''μ'' cũng là trung bình cộng của <math>x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n'</math> và theo giả thuyết quy nạp ta có
:<math>\mu^{n+1}=\mu^n\cdot\mu\ge x_1x_2 \cdots x_{n-1} x_n'\mu.\qquad(**)</math>
Mặt khác từ (*) ta có
:<math>(\underbrace{x_n+x_{n+1}-\mu}_{=\,x_n'})\mu-x_nx_{n+1}=(x_n-\mu)(\mu-x_{n+1})>0,</math>
hay là
:<math>x_n'\mu>x_nx_{n+1}\,,\qquad({*}{*}{*})</math>
hiển nhiên ''μ'' > 0. Nếu có ít nhất một trong ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''−1</sub> bằng không, ta dễ thấy bất đẳng thức đúng và dấu bằng không xảy ra. Ngược lại, từ (**) và (***) ta có:
:<math>\mu^{n+1}>x_1x_2 \cdots x_{n-1} x_nx_{n+1}\,,</math>
bất đẳng thức được chứng minh.
==Chứng minh cho trường hợp không hệ số==
===Trường hợp ''n'' = 2===
Với mọi thực <math> x_1, x_2 \geq 0 </math>, ta luôn có:
:<math> (\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2\geq0
\Leftrightarrow x_1 - 2\sqrt{x_1x_2} + x_2 \geq0
\Leftrightarrow x_1 + x_2 \geq 2\sqrt{x_1x_2}
\Leftrightarrow \frac{x_1 + x_2}2 \geq \sqrt{x_1x_2} </math>
=== Trường hợp ''n'' = 2k ===
Giả sử
:<math> \frac {x_1 + x_2 +... +x_k }k \geq \sqrt[k]{x_1x_2...x_k} </math>
Ta có:
:<math> x_1 +x_2+...+x_k+x_{k+1}+x_{k+2}+...+x_{2k}\geq k\sqrt[k]{x_1x_2...x_k}+k\sqrt[k]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k}} (1) </math>
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với trường hợp <math> n=2 </math>, ta lại có:
:<math> k\sqrt[k]{x_1x_2...x_k} + k\sqrt[k]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k}}\geq 2k\sqrt[2k]{x_1x_2...x_{2k}} (2) </math>
Từ <math> (1) </math> và <math> (2) </math>, ta có được bất đẳng thức
:<math> x_1 +x_2+...+x_{2k}\geq 2k\sqrt[2k]{x_1x_2...x_{2k}} </math> (đpcm)
=== Trường hợp ''n'' = 2k - 1 ===
Giả sử
:<math> \frac {x_1 + x_2 +... +x_k }k \geq \sqrt[k]{x_1x_2...x_k} </math>
Ta có:
:<math> x_1 +x_2+...+x_k+x_{k+1}+x_{k+2}...+x_{2k-1}+\sqrt[2k-1]{x_1x_2...x_{2k-1}}\geq k\sqrt[k]{x_1x_2...x_k}+k\sqrt[k]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k-1}\sqrt[2k-1]{x_1x_2...x_{2k-1}}} (3) </math>
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với trường hợp <math> n=2 </math>, ta lại có:
:<math> k\sqrt[k]{x_1x_2...x_k} + k\sqrt[k]{x_{k+1}x_{k+2}...\sqrt[2k-1]{x_1x_2...x_{2k-1}}}\geq
2k\sqrt[2k]{x_1x_2...x_{2k-1}\sqrt[2k-1]{x_1x_2...x_{2k-1}}}=2k\sqrt[2k-1]{x_1x_2...x_{2k-1}} (4) </math>
Từ <math> (3) </math> và <math> (4) </math>, ta có:
:<math> x_1 +x_2+...+x_k+x_{k+1}+...+x_{2k-1}+\sqrt[2k-1]{x_1x_2...x_{2k-1}}\geq 2k\sqrt[2k-1]{x_1x_2...x_{2k-1}} </math>
Cuối cùng, ta được bất đẳng thức:
:<math> x_1 +x_2...+x_{2k-1}\geq (2k-1)\sqrt[2k-1]{x_1x_2...x_{2k-1}} </math> (đpcm)
==Chứng minh của Pólya==
[[George Pólya]] đưa ra một chứng minh cho bất đẳng thức như sau:<ref>{{chú thích sách|title=Four unit mathematics|author=D. Arnold, G. Arnold|publisher=Edward Arnold|year=1993|isbn=0340543353|page=242}}</ref>
Gọi ''f''(''x'') = ''e''<sup>''x''−1</sup> − ''x'', có [[đạo hàm]] ''f''{{'}}(''x'') = ''e''<sup>''x''−1</sup> − 1. Ta thấy ''f''{{'}}(1) = 0 và từ đó ''f'' có giá trị nhỏ nhất tại ''f''(1) = 0. Từ đó ''x'' ≤ e<sup>''x''−1</sup> đối với mọi số thực ''x''.
Xét một dãy các số thực không âm <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> với trung bình cộng ''μ''. Áp dụng bất đẳng thức ở trên ta có:
:<math>{ \frac{a_1}{\mu} \frac{a_2}{\mu} \cdots \frac{a_n}{\mu} } \le { e^{\frac{a_1}{\mu} - 1} e^{\frac{a_2}{\mu} - 1} \cdots e^{\frac{a_n}{\mu} - 1} } = \exp \left (\frac{a_1}{\mu} - 1 + \frac{a_2}{\mu} - 1 + \cdots + \frac{a_n}{\mu} - 1 \right). \qquad (1) </math>
Nhưng số mũ có thể rút gọn thành:
:<math>\frac{a_1}{\mu} - 1 + \frac{a_2}{\mu} - 1 + \cdots + \frac{a_n}{\mu} - 1 = \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)}{\mu} - n = n - n = 0.</math>
Trở lại (1),
:<math>\frac{a_1 a_2 \cdots a_n}{\mu^n} \le e^0 = 1</math>
và tương đương với:
:<math>a_1 a_2 \cdots a_n \le \mu^n \implies \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \le \mu.</math>
== Chứng minh của Cauchy ==
=== Các trường hợp tất cả các giá trị bằng nhau ===
Nếu tất cả các giá trị bằng nhau:
:<math>x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math>
tức tổng chúng là ''nx''<sub>1</sub>, do đó giá trị trung bình cộng là ''x''<sub>1</sub>; và tích các số dưới căn bậc hai là ''x''<sub>1</sub><sup>''n''</sup>, do dó giá trị trung bình nhân lúc này là ''x''<sub>1</sub>; vì vậy, vế một và vế 2 bằng nhau, điều phải chứng minh.
=== Các trường hợp các giá trị không bằng nhau ===
Nếu tất cả các giá trị bằng nhau không bằng nhau, thì giá trị [[Trung bình cộng đơn giản|trung bình cộng]] lớn hơn giá trị [[trung bình nhân]]. Rõ ràng, điều này chỉ có thể xảy ra khi ''n''> 1. Trường hợp này khá phức tạp và được chia ra nhiều trường hợp để chứng minh.
==== Trường hợp ''n ''= 2 ====
Nếu ''n''= 2, tức có hai giá trị ''x''<sub>1</sub> và ''x''<sub>2</sub>, và từ giả thiết ở trên, ta có:
: <math>
\begin{align}
x_1 & \ne x_2 \\[3pt]
x_1 - x_2 & \ne 0 \\[3pt]
\left(x_1 - x_2 \right) ^2 & > 0 \\[3pt]
x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 0 \\[3pt]
x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 4 x_1 x_2 \\[3pt]
\left(x_1 + x_2 \right) ^2& > 4 x_1 x_2 \\[3pt]
\Bigl(\frac{x_1 + x_2}{2} \Bigr)^2 & > x_1 x_2 \\[3pt]
\frac{x_1 + x_2}{2} & > \sqrt{x_1 x_2}
\end{align}
</math>
Ta có điều phải chứng minh.
==== Trường hợp ''n ''= 2<sup>''k''</sup> ====
Xem xét các trường hợp ''n''= 2 <sup>''k''</sup>, với ''k'' là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng [[quy nạp toán học]].
Trong trường hợp cơ bản,''k'' = 1, tức ''n'' = 2, bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên.
Khi, có một giá trị ''k''> 1 bất kỳ, giả sử rằng bất đẳng thức đúng với <span style="white-space:nowrap">''n'' = 2<sup>''k''−1</sup></span>, và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi <span style="white-space:nowrap">''n'' = 2<sup>''k''</sup></span>. Để làm như vậy, các bước được thực hiện như sau:
: <math>
\begin{align}
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k} & {} =\frac{\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}} + \frac{x_{2^{k-1} + 1} + x_{2^{k-1} + 2} + \cdots + x_{2^k}}{2^{k-1}}}{2} \\[7pt]
& \ge \frac{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1}}} + \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k}}}{2} \\[7pt]
& \ge \sqrt{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1}}} \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k}}} \\[7pt]
& = \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}
\end{align}
</math>
với bất đẳng thức đầu tiên, hai bên đều bằng nhau chỉ khi cả hai điều sau đây là đúng:
:<math>x_1 = x_2 = \cdots = x_{2^{k-1}}</math>
:<math>x_{2^{k-1}+1} = x_{2^{k-1}+2} = \cdots = x_{2^k}</math>
(Trong trường hợp này, trung bình số học thứ nhất và trung bình nhân thứ 1 bằng''x''<sub>1</sub>, và tương tự với trung bình số học thứ hai và trung bình nhân thứ 2); và trong bất đẳng thức thứ hai, Hai bên chỉ bằng nhau nếu hai giá trị trung bình bằng nhau. Vì không phải tất cả hai <sup>''k''</sup> đều bằng nhau, không thể cho cả hai bất đẳng thức được đẳng, vì vậy chúng ta biết rằng:
:<math>\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k} > \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}</math>
(điều phải chứng minh).
==== Trường hợp ''n ''< 2<sup>''k''</sup> ====
Nếu ''n'' không phải là một hàm mũ tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc chắn là nhỏ hơn một số nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vì chuỗi <span style="white-space:nowrap">2, 4, 8,..., 2<sup>''k''</sup>,...</span> không bị chặn trên. Do đó, mà không mất tính tổng quát, với ''m'' giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn ''n''.
Vì vậy, nếu ta có ''n'' số, thì ta có thể biểu diễn giá trị trung bình cộng α, và được mở rộng như sau:
:<math>x_{n+1} = x_{n+2} = \cdots = x_m = \alpha.</math>
Chúng tôi sau đó có:
: <math>
\begin{align}\biguplus
\alpha & = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\[6pt]
& = \frac{\frac{m}{n} \left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right)}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \frac{m-n}{n} \left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right)}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \left(m-n \right) \alpha}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1} + \cdots + x_m}{m} \\[6pt]
& > \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x_{n+1} \cdots x_m} \\[6pt]
& = \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n \alpha^{m-n}}\,,
\end{align}
</math>
như vậy:
: <math>
\begin{align}
\alpha^m & > x_1 x_2 \cdots x_n \alpha^{m-n} \\[5pt]
\alpha^n & > x_1 x_2 \cdots x_n \\[5pt]
\alpha & > \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
\end{align}
</math>
điều phải chứng minh.
==Ứng dụng==
=== Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ===
# Tổng của một số thực dương và nghịch đảo của nó luôn đạt giá trị tối thiểu là 2.
# Hai số thực dương có tổng không đổi thì tích 2 số đó đạt giá trị lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
# Hai số thực dương có tích không đổi thì tổng 2 số đó đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
=== Ý nghĩa hình học của các hệ quả nêu trên ===
Trong các hình [[Hình chữ nhật|chữ nhật]] có cùng [[chu vi]], [[hình vuông]] có [[diện tích]] lớn nhất
Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất
=== Trong các lĩnh vực khác ===
Việc sử dụng bất đẳng thức giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải các phương trình vô tỉ. Ứng dụng trong Vật lý học để khảo sát công suất cực đại.
==Chú thích==
{{Tham khảo}}
==Xem thêm==
*[[Bất đẳng thức]]
*[[Bất đẳng thức Bunyakovsky]]
*[[Bất đẳng thức Jensen]]
*[[Bất đẳng thức Karamata]]
*[[Bất đẳng thức Ky Fan]]
*[[Bất đẳng thức Minkowski]]
*[[Bất đẳng thức cộng Chebyshev]]
*[[Bất đẳng thức Markov]]
*[[Bất đẳng thức Bernoulli]]
*[[Bất đẳng thức Nesbitt]]
*[[Bất đẳng thức Schur]]
==Liên kết ngoài==
* Augustin-Louis Cauchy, [http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-29058 ''Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique,''] Paris, 1821 (tiếng Pháp).
* {{chú thích web|title=Introduction to Inequalities|url=http://www.mediafire.com/?1mw1tkgozzu |author=Arthur Lohwater|year=1982|publisher=Online e-book in PDF format}}
[[Thể loại:Bất đẳng thức]]
[[Thể loại:Trung bình]]
| |||