Định lý lá cờ Anh

(đổi hướng từ Định lý Lá Cờ Nước Anh)

Trong hình học Euclid, định lý Lá Cờ Nước Anh phát biểu rằng cho một điểm P trên mặt phẳng hình chữ nhật ABCD khi đó tổng diện tích hai hình vuông với độ dài cạnh lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến hai đỉnh đối nhau bằng tổng diện tích hai hình vuông với các cạnh lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến hai đỉnh đối còn lại.[1][2][3]

Định lý Lá Cờ Nước Anh phát biểu rằng tổng diện tích hình vuông màu đỏ bằng tổng diện tích hình vuông màu xanh

Định lý được thể hiện thông qua Phương trình sau:

Định lý cũng đúng nếu điểm P nằm trong không gian Euclid chứa hình chữ nhật.[4]. Tuy nhiên định lý không còn đúng nếu như ta thay hình chữ nhật bởi một hình bình hành.[5]

Chứng minhSửa đổi

 
Minh hoạ cách chứng minh

Hình chiếu của P tới các cạnh AB, BC, CD, và AD lần lượt là các điểm w, x, yz. Khi đó wxyz là một tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AwP, và ta thấy wP = Az, do đó

  •  

tương tự ta có:

  •  
  •  
  •  

Do đó:    

Ứng dụngSửa đổi

 
Tổng diện tích các tứ giác cùng màu bằng nhau

Một ứng dụng định lý là cờ nước anh như sau: Cho hai đa giác đều 2n cạnh là A1A2....A2n và B1B2....B2n khi đó tổng diện tích của hai tứ giác AiAi+1Bi+1Bi và Ai+nAi+1+nBi+1+nBi+n là bằng nhau với mọi i=1,...,n. Kết quả này được chứng minh từ trường hợp hai hình chữ nhật đồng dạng.[6]

Mở rộngSửa đổi

Cho hai hình chữ nhật đồng dạng cùng hướng ABCD và A'B'C'D' khi đó ta có hệ thức:[7]

 

Rõ ràng khi một trong hai hình chữ nhật suy biến thành một điểm thì sẽ có định lý Lá Cờ Anh

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Lardner, Dionysius (1848), The First Six Books of the Elements of Euclid, H.G. Bohn, tr. 87. Lardner includes this theorem in what he calls "the most useful and remarkable theorems which may be inferred" from the results in Book II of Euclid's Elements.
  2. ^ Young, John Wesley; Morgan, Frank Millett (1917), Elementary Mathematical Analysis, The Macmillan company, tr. 304.
  3. ^ Bôcher, Maxime (1915), Plane Analytic Geometry: with introductory chapters on the differential calculus, H. Holt and Company, tr. 17.
  4. ^ Harvard-MIT Mathematics Tournament solutions, Problem 28.
  5. ^ Hadamard, Jacques (2008), Lessons in Geometry: Plane geometry, American Mathematical Society, tr. 136, ISBN 978-0-8218-4367-3.
  6. ^ Nguyễn Minh Hà và Đào Thanh Oai, An interesting application of the British flag theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, ISSN: 2284-5569, Vol.4, (2015), Issue 1, pp.31-34
  7. ^ Dao Thanh Oai, Problem 2015.5, The Mathematical Gazette, 99, pp 554-556. doi:10.1017/mag.2015.108.