Phương trình

tuyên bố toán học khẳng định sự bằng nhau của hai biểu thức

Trong toán học, phương trình là một phát biểu khẳng định sự bằng nhau của hai biểu thức. Phương trình trong các ngôn ngữ khác có thể có nhiều ý nghĩa khác nhau; ví dụ, trong tiếng Pháp, một équation được định nghĩa là chứa một hoặc nhiều biến, còn trong tiếng Anh bất kỳ sự đẳng thức nào đều là một equation.[2]

Lần sử dụng đầu tiên của một dấu bằng, tương đương với 14x + 15 = 71 trong ký hiệu hiện đại. Xuất hiện trong The Whetstone of Witte của Robert Recorde xứ Wales (1557).[1]

Giải một phương trình chứa biến là việc xác định giá trị nào của các biến làm cho đẳng thức trở nên đúng. Biến còn được gọi là ẩn số và các giá trị của ẩn số đáp ứng sự bình đẳng này được gọi là nghiệm của phương trình. Có hai loại phương trình: đồng nhất thức và phương trình có điều kiện. Một đồng nhất thức đúng cho tất cả các giá trị của biến. Phương trình có điều kiện chỉ đúng với các giá trị nhất định của các biến số, hoặc không đúng với giá trị nào.[3][4]

Một phương trình được viết dưới dạng hai biểu thức, nối với nhau bằng dấu bằng ("="). Các biểu thức ở hai bên của dấu bằng được gọi là "vế trái" và "vế phải" của phương trình.

Loại phương trình phổ biến nhất là phương trình đại số, trong đó hai vế là các biểu thức đại số. Mỗi bên của một phương trình đại số chứa một hoặc nhiều số hạng. Ví dụ, phương trình

có vế trái là Ax2 + Bx + C với ba số hạng, và vế phải là y chỉ có một số hạng. Các ẩn số là xy, còn các tham số là A, B, C.

Một phương trình tương tự như một cái cân mà trọng lượng được đặt vào. Khi đặt một vật gì đó có trọng lượng bằng nhau (ví dụ như hạt) vào hai chảo, thì hai bên cân đó cân bằng và được cho là bằng nhau. Nếu một lượng hạt được lấy ra từ một chảo của cân thì một lượng hạt tương đương phải được lấy ra khỏi chảo kia để giữ cho cân được cân bằng. Tương tự như vậy, để giữ cho một phương trình ở trạng thái cân bằng, các phép toán cộng, trừ, nhân và chia giống nhau phải được thực hiện trên cả hai vế của một phương trình để nó vẫn đúng.

Trong hình học, phương trình được sử dụng để mô tả các hình dạng khác nhau. Các phương trình được xem xét, chẳng hạn như phương trình ẩn hoặc Phương trình tham số, có vô số nghiệm, thay vì xác định cụ thể các nghiệm hoặc liệt kê chúng, người ta sử dụng phương trình để nghiên cứu tính chất của những hình dạng. Đây là ý tưởng khởi đầu của hình học đại số, một lĩnh vực quan trọng của toán học.

Đại số nghiên cứu hai họ phương trình chính: phương trình đa thức và trường hợp đặc biệt, phương trình tuyến tính. Khi chỉ có một biến, phương trình đa thức có dạng P(x) = 0, trong đó P là một đa thức; còn phương trình tuyến tính có dạng ax + b = 0, trong đó ab là các tham số. Để giải các phương trình dạng này, người ta sử dụng các kỹ thuật hình học hoặc thuật toán bắt nguồn từ giải tích hoặc đại số tuyến tính. Đại số cũng nghiên cứu phương trình Diophantine trong đó các hệ số và nghiệm là các số nguyên. Có nhiều kỹ thuật khác nhau được sử dụng, chủ yếu đến từ lý thuyết số.

Phương trình vi phân là phương trình liên quan đến một hoặc nhiều hàm và đạo hàm của chúng. Chúng được giải khi ta tìm được một biểu thức cho hàm không phụ thuộc vào đạo hàm của nó. Phương trình vi phân được sử dụng để mô hình hóa các quá trình liên quan đến tốc độ thay đổi của biến số và được sử dụng trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, sinh họckinh tế.

Ký hiệu " = ", xuất hiện trong mọi phương trình, được phát minh vào năm 1557 bởi Robert Recorde, người cho rằng không gì bằng nhau hơn hai đường thẳng song song có cùng độ dài.[1]

Giới thiệuSửa đổi

Minh họaSửa đổi

 
Minh họa một phương trình đơn giản; x, y, z là các số thực, tương tự như trọng số.

Một phương trình tương tự như cái cân, cân bằng hoặc bập bênh.

Mỗi vế của phương trình tương ứng với một vế của sự cân bằng. Các đại lượng khác nhau có thể được đặt ở mỗi bên: nếu trọng lượng ở hai bên bằng nhau thì cái cân sẽ cân bằng, và tương tự như vậy thì cân bằng biểu thị số dư cũng là cân bằng (nếu không, thì cân bằng tương ứng với một bất đẳng thức được biểu thị bằng một bất phương trình).

Trong hình minh họa, x, yz là tất cả các đại lượng khác nhau (trong trường hợp này là số thực) được biểu diễn dưới dạng trọng số tròn và mỗi x, yz có trọng số khác nhau. Phép cộng tương ứng với việc thêm trọng lượng, trong khi phép trừ tương ứng với việc loại bỏ trọng lượng khỏi những gì đã có. Khi bình đẳng giữ nguyên, tổng trọng lượng của mỗi bên là như nhau.

Tham số và ẩn sốSửa đổi

Phương trình thường chứa các số hạng khác với ẩn số. Các thuật ngữ khác này, được giả định là đã biết, thường được gọi là hằng số, hệ số hoặc tham số.

Một ví dụ về phương trình bao gồm xy là ẩn số và tham số R

 

Khi R được chọn có giá trị là 2 (R = 2), phương trình này sẽ được thấy, khi được phác thảo trong hệ tọa độ Descartes, là phương trình cho một đường tròn cụ thể có bán kính là 2. Do đó, phương trình với R không xác định là phương trình tổng quát của đường tròn.

Thông thường, các ẩn số được ký hiệu bằng các chữ cái ở cuối bảng chữ cái, x, y, z, w,..., trong khi các hệ số (tham số) được ký hiệu bằng các chữ cái ở đầu, a, b, c, d,.... Ví dụ, phương trình bậc hai tổng quát thường được viết ax2 + bx + c = 0. Quá trình tìm nghiệm, hoặc, trong trường hợp tham số, biểu diễn ẩn số dưới dạng tham số được gọi là giải phương trình. Biểu thức của nghiệm như vậy diễn đạt bằng các thông số còn được gọi là nghiệm số.

Hệ phương trình là một tập hợp các phương trình đồng thời, thường có một số ẩn số, mà các nghiệm chung được tìm kiếm. Do đó, một nghiệm của hệ thống là một tập hợp các giá trị cho mỗi ẩn số, chúng cùng nhau tạo thành một nghiệm cho mỗi phương trình trong hệ thống. Ví dụ, hệ thống

 

có nghiệm duy nhất x = −1, y = 1.

Đồng nhất thứcSửa đổi

Đồng nhất thức là một phương trình đúng với tất cả các giá trị có thể có của (các) biến mà nó chứa. Nhiều danh tính được biết đến trong đại số và giải tích. Trong quá trình giải một phương trình, một đồng nhất thức thường được sử dụng để đơn giản hóa một phương trình làm cho nó dễ giải hơn.

Trong đại số, một ví dụ về đồng nhất thức là hiệu của hai bình phương:

 

là đúng với mọi xy.

Lượng giác là một lĩnh vực tồn tại nhiều đồng nhất thức; chúng rất hữu ích trong việc vận dụng hoặc giải các phương trình lượng giác. Hai trong số nhiều đồng nhất thức liên quan đến hàm sincôsin là:

 

 

là đúng với mọi θ.

Ví dụ, để tìm giá trị của θ thỏa mãn phương trình:

 

trong đó θ được biết là giới hạn trong khoảng từ 0 đến 45 độ, chúng ta có thể sử dụng đồng nhất thức cho tích ở trên để tạo ra:

 

cho kết quả

 

Vì hàm sin là một hàm tuần hoàn nên có vô số nghiệm nếu không có giới hạn nào trên cho θ. Trong ví dụ này, giới hạn θ nằm trong khoảng từ 0 đến 45 độ ngụ ý rằng chỉ có một nghiệm duy nhất.

Thuộc tínhSửa đổi

Hai phương trình hoặc hai hệ phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Các phép toán sau đây biến một phương trình hoặc một hệ phương trình thành một phương trình tương đương - với điều kiện là các phép toán đó có ý nghĩa đối với các biểu thức mà chúng được áp dụng:

  • Cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế với cùng một số với điều kiện phép nhân và chia cùng một số khác 0 và không chứa ĐKXĐ.
  • Bậc của phương trình là bậc của các đa thức, ở phương trình (4) thì nó là phương trình bậc II.
  • Rút gọn phương trình về tối giản tương tự như rút gọn đa thức không vi phạm ĐKXĐ.
  • Căn bậc n hoặc nâng lũy thừa bậc n nếu các đa thức đều không âm hoặc cùng âm và không vi phạm ĐKXĐ.
  • Các nghiệm phải thỏa mãn ĐKXĐ và làm 2 vế phương trình bằng nhau.

Nếu một số hàm được áp dụng cho cả hai vế của một phương trình, thì phương trình thu được có các nghiệm của phương trình ban đầu trong số các nghiệm của nó, nhưng có thể có các nghiệm khác được gọi là các nghiệm không liên quan. Ví dụ, phương trình   có nghiệm   Nâng cả hai vế lên số mũ của 2 (có nghĩa là áp dụng hàm   về cả hai vế của phương trình) thay đổi phương trình thành  , không chỉ có nghiệm trước đó mà còn tạo ra nghiệm không liên quan,   Hơn nữa, nếu hàm không được xác định tại một số giá trị (chẳng hạn như 1/x, không được xác định cho x = 0), các nghiệm tồn tại tại các giá trị đó có thể bị mất. Vì vậy, cần phải thận trọng khi áp dụng một phép biến đổi như vậy cho một phương trình.

Các phép biến đổi trên là cơ sở của hầu hết các phương pháp cơ bản để giải phương trình cũng như một số phương pháp ít cơ bản hơn, như phương pháp khử Gauss.

Đại sốSửa đổi

Phương trình đa thứcSửa đổi

 
Các nghiệm –1 và 2 của phương trình đa thức x2x + 2 = 0 là các điểm đồ thị của hàm bậc hai y = x2x + 2 cắt trục x.

Nói chung, một phương trình đại số hoặc phương trình đa thức là một phương trình có dạng

 

hoặc

 

trong đó PQ là các đa thức với hệ số trong một số trường nào đó (số thực, số phức, v.v.), thường là trường của các số hữu tỉ. Một phương trình đại số là đơn biến nếu nó chỉ chứa một biến. Mặt khác, một phương trình đa thức có thể bao gồm một số biến, trong trường hợp đó nó được gọi là đa biến (nhiều biến, x, y, z, v.v.). Thuật ngữ phương trình đa thức thường được ưu tiên hơn phương trình đại số.

Ví dụ,

 

là một phương trình đại số (đa thức) đơn biến với các hệ số nguyên và

 

là một phương trình đa thức nhiều biến trên trường các số hữu tỉ.

Một số nhưng không phải tất cả các phương trình đa thức với hệ số hữu tỉ đều có nghiệm là biểu thức đại số với một số hữu hạn các phép toán chỉ liên quan đến các hệ số đó (nghĩa là nó có thể được giải bằng đại số). Điều này có thể được thực hiện cho tất cả các phương trình cấp một, hai, ba hoặc bốn; nhưng đối với bậc năm trở lên, nó có thể được giải cho một số phương trình, nhưng, như định lý Abel-Ruffini chứng minh, không phải cho tất cả. Một lượng lớn nghiên cứu đã được dành để tính toán các giá trị gần đúng chính xác hiệu quả của các nghiệm thực hoặc nghiệm phức của một phương trình đại số đơn biến (xem phần Tìm nghiệm nguyên của đa thức) và các nghiệm chung của một số phương trình đa thức nhiều biến (xem Hệ phương trình đa thức).

Hệ phương trình tuyến tínhSửa đổi

 
Cửu chương toán thuật là một cuốn sách ẩn danh của Trung Quốc đề xuất phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.

Hệ phương trình tuyến tính (hay hệ tuyến tính) là một tập hợp các phương trình tuyến tính liên quan đến cùng một tập các biến. [a] Ví dụ:

 

là một hệ ba phương trình theo ba biến x, y, z. Một nghiệm số cho một hệ thống tuyến tính là một phép gán các số cho các biến sao cho tất cả các phương trình được thỏa mãn đồng thời. Một nghiệm số cho hệ phương trình trên là

 

vì nó làm cho cả ba phương trình cùng đúng. Từ "hệ" chỉ ra rằng các phương trình được xem xét chung, thay vì riêng lẻ.

Trong toán học, lý thuyết về hệ tuyến tính là cơ sở và là một phần cơ bản của đại số tuyến tính, một chủ đề được sử dụng trong hầu hết các phần của toán học hiện đại. Các thuật toán tính toán để tìm ra lời giải là một phần quan trọng của đại số tuyến tính số và đóng một vai trò nổi bật trong vật lý, kỹ thuật, hóa học, khoa học máy tínhkinh tế. Một hệ phương trình phi tuyến tính thường có thể được xấp xỉ bằng một hệ thống tuyến tính (xem tuyến tính hóa), một kỹ thuật hữu ích khi tạo mô hình toán học hoặc mô phỏng máy tính của một hệ thống tương đối phức tạp.

Hình họcSửa đổi

Hình học giải tíchSửa đổi

 
Đường conic là giao tuyến của mặt phẳng và mặt nón.

Trong hình học Euclide, có thể liên kết một tập hợp các tọa độ với mỗi điểm trong không gian, ví dụ bằng một lưới trực giao. Phương pháp này cho phép người ta mô tả các hình hình học bằng các phương trình. Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có thể được biểu diễn dưới dạng tập nghiệm của một phương trình có dạng  , Ở đâu    là số thực và   là các ẩn số tương ứng với tọa độ của một điểm trong hệ được cho bởi lưới trực giao. Giá trị   là tọa độ của một vectơ vuông góc với mặt phẳng được xác định bởi phương trình. Một đường được biểu thị là giao của hai mặt phẳng, đó là tập nghiệm của một phương trình tuyến tính duy nhất với các giá trị trong   hoặc dưới dạng tập nghiệm của hai phương trình tuyến tính với các giá trị trong  

Đường conic là giao điểm của một mặt nón có phương trình   và một mặt phẳng. Nói cách khác, trong không gian, mọi hình nón được định nghĩa là tập nghiệm của phương trình mặt phẳng và phương trình của hình nón vừa cho. Chủ nghĩa hình thức này cho phép người ta xác định vị trí và thuộc tính của trọng tâm của một đường conic.

Việc sử dụng các phương trình cho phép người ta sử dụng một lĩnh vực toán học rộng lớn để giải các câu hỏi hình học. Hệ tọa độ Descartes biến một bài toán hình học thành một bài toán phân tích, một khi các hình được biến đổi thành phương trình; do đó tên hình học giải tích. Quan điểm này do Descartes nêu ra đã làm phong phú và sửa đổi loại hình học được các nhà toán học Hy Lạp cổ đại hình thành.

Hiện nay, hình học giải tích chỉ định một nhánh hoạt động của toán học. Mặc dù nó vẫn sử dụng các phương trình để mô tả các số liệu, nó cũng sử dụng các kỹ thuật phức tạp khác như giải tích hàmđại số tuyến tính.

Phương trình DescartesSửa đổi

Một hệ tọa độ Descartes là một hệ tọa độ mà quy định cụ thể từng thời điểm duy nhất trong một mặt phẳng bởi một cặp số tọa độ, đó là những khoảng cách từ điểm đến hai trục cố định vuông góc với nhau, được đánh dấu bằng cách sử dụng cùng một đơn vị chiều dài.

Người ta có thể sử dụng cùng một nguyên tắc để xác định vị trí của bất kỳ điểm nào trong không gian ba chiều bằng cách sử dụng ba tọa độ Descartes, là những khoảng cách có dấu đến ba mặt phẳng vuông góc với nhau (hoặc tương đương, bằng phép chiếu vuông góc của nó lên ba đường vuông góc với nhau).

 
Hệ tọa độ Descartes với đường tròn bán kính là 2 với tâm ở gốc được đánh dấu màu đỏ. Phương trình của đường tròn là (xa)2 + (yb)2 = r2 trong đó ab là tọa độ của tâm (a, b)r là bán kính.

Việc phát minh ra hệ tọa độ Descartes vào thế kỷ 17do René Descartes (tên Latinh: Cartesius) đã cách mạng hóa toán học bằng cách cung cấp mối liên hệ có hệ thống đầu tiên giữa hình học Euclidđại số. Sử dụng hệ tọa độ Descartes, các hình dạng hình học (chẳng hạn như đường cong) có thể được mô tả bằng phương trình Descartes: phương trình đại số liên quan đến tọa độ của các điểm nằm trên hình dạng. Ví dụ, một đường tròn bán kính 2 trong một mặt phẳng, có tâm tại một điểm cụ thể được gọi là điểm gốc, có thể được mô tả là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ xy thỏa mãn phương trình x2 + y2 = 4.

Phương trình tham sốSửa đổi

Phương trình tham số cho đường cong biểu thị tọa độ của các điểm trên đường cong dưới dạng hàm của một biến số, được gọi là tham số.[5][6] Ví dụ,

 

là phương trình tham số của đường tròn đơn vị, trong đó t là tham số. Cùng với nhau, những phương trình này được gọi là biểu diễn tham số của đường cong.

Khái niệm về phương trình tham số đã được tổng quát hóa cho các bề mặt, đa tạp và các dạng đại sốsố chiều cao hơn, với số lượng tham số bằng thứ nguyên của đa tạp hoặc đa dạng, và số phương trình bằng thứ nguyên của không gian trong đó đa tạp hoặc đa dạng được xem xét (đối với đường cong, kích thước là mộtmột tham số được sử dụng, đối với bề mặt có kích thước haihai tham số, v.v.).

Lý thuyết sốSửa đổi

Phương trình DiophantineSửa đổi

Một phương trình Diophantine là một phương trình đa thức trong hai hay nhiều ẩn số mà cần tìm nghiệm là các số nguyên (một nghiệm số nguyên là một nghiệm mà tất cả các ẩn số là các số nguyên). Phương trình Diophantine tuyến tính là một phương trình giữa hai tổng đơn thức bậc 0 hoặc một. Một ví dụ về phương trình Diophantine tuyến tínhax + by = c trong đó a, bc là các hằng số. Phương trình Diophantine hàm mũ là một phương trình mà số mũ của các số hạng của phương trình có thể là ẩn số.

Các bài toán Diophantine có ít phương trình hơn các biến chưa biết và liên quan đến việc tìm số nguyên cho kết quả chính xác cho tất cả các phương trình. Trong ngôn ngữ kỹ thuật hơn, các nghiệm này xác định một đường cong đại số, bề mặt đại số hoặc đối tượng tổng quát hơn, và hỏi về các điểm lưới trên đó.

Từ Diophantine dùng để chỉ nhà toán học Hy Lạp ở thế kỷ thứ 3, DiophantusAlexandria, người đã nghiên cứu các phương trình như vậy và là một trong những nhà toán học đầu tiên đưa chủ nghĩa ký hiệu vào đại số. Nghiên cứu toán học về các vấn đề Diophantine mà Diophantus khởi xướng hiện nay được gọi là giải tích Diophantine.

Đại số và số siêu việtSửa đổi

Một số đại số là một số mà là nghiệm của một phương trình đa thức khác 0 một biến với các hệ số hữu tỉ (hoặc tương đương - bằng cách xóa các mẫu số - với các hệ số nguyên). Các số như pi không phải là đại số được gọi là số siêu việt. Hầu hết tất cả các số thựcsố phức đều là các số siêu việt.

Hình học đại sốSửa đổi

Hình học đại số là một nhánh của toán học, nghiên cứu một cách cổ điển các nghiệm của phương trình đa thức. Hình học đại số hiện đại dựa trên các kỹ thuật trừu tượng hơn của đại số trừu tượng, đặc biệt là đại số giao hoán, với ngôn ngữ và các vấn đề của hình học.

Đối tượng nghiên cứu cơ bản của hình học đại số là các dạng đại số, là các biểu hiện hình học của các nghiệm của hệ phương trình đa thức. Ví dụ về các lớp đa dạng đại số được nghiên cứu nhiều nhất là: đường cong đại số phẳng, bao gồm đường thẳng, đường tròn, parabol, hình elip, hypebol, đường cong hình khối như đường cong elliptic và đường cong tứ phương như hình chanh, và hình bầu dục Cassini. Một điểm của mặt phẳng thuộc một đường cong đại số nếu tọa độ của nó thỏa mãn một phương trình đa thức đã cho. Các câu hỏi cơ bản liên quan đến việc nghiên cứu các điểm quan tâm đặc biệt như điểm kỳ dị, điểm uốnđiểm ở vô cùng. Các câu hỏi nâng cao hơn liên quan đến cấu trúc liên kết của đường cong và quan hệ giữa các đường cong được cho bởi các phương trình khác nhau.

Phương trình vi phânSửa đổi

 
Một hình hấp dẫn kỳ lạ, phát sinh khi giải một phương trình vi phân nhất định

Phương trình vi phân là một phương trình toán học liên hệ một số hàm với các đạo hàm của nó. Trong các ứng dụng, các hàm thường đại diện cho các đại lượng vật lý, các đạo hàm đại diện cho tốc độ thay đổi của chúng và phương trình xác định mối quan hệ giữa hai hàm. Bởi vì các mối quan hệ như vậy là rất phổ biến, phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành bao gồm vật lý, kỹ thuật, kinh tếsinh học.

Trong toán học thuần túy, phương trình vi phân được nghiên cứu từ nhiều khía cạnh khác nhau, chủ yếu quan tâm đến nghiệm của chúng - tập các hàm thỏa mãn phương trình. Chỉ những phương trình vi phân đơn giản nhất mới có thể giải được bằng công thức tường minh; tuy nhiên, một số tính chất của nghiệm của một phương trình vi phân đã cho có thể được xác định mà không cần tìm dạng chính xác của chúng.

Nếu không có công thức riêng cho giải pháp, thì lời giải có thể được tính gần đúng về mặt số học bằng máy tính. Lý thuyết hệ động lực tập trung vào phân tích định tính các hệ được mô tả bằng phương trình vi phân, trong khi nhiều phương pháp số đã được phát triển để xác định các nghiệm với một mức độ chính xác nhất định.

Phương trình vi phân thườngSửa đổi

Một phương trình vi phân thông thường hoặc ODE là một phương trình chứa một hàm của một biến độc lập và các đạo hàm của nó. Thuật ngữ " thông thường " được sử dụng trái ngược với thuật ngữ phương trình vi phân riêng phần, có thể liên quan đến nhiều hơn một biến độc lập.

Phương trình vi phân tuyến tính, có các nghiệm có thể được thêm và nhân với hệ số, được xác định và hiểu rõ, đồng thời thu được các nghiệm dạng đóng chính xác. Ngược lại, các ODE thiếu các giải pháp cộng là phi tuyến tính và việc giải chúng phức tạp hơn nhiều, vì người ta hiếm khi có thể biểu diễn chúng bằng các hàm cơ bản ở dạng đóng: Thay vào đó, các giải pháp chính xác và giải tích của ODE ở dạng chuỗi hoặc tích phân. Các phương pháp đồ thị và số, được áp dụng bằng tay hoặc bằng máy tính, có thể ước tính các giải pháp của ODE và có thể mang lại thông tin hữu ích, thường chỉ đủ trong trường hợp không có các nghiệm số tích phân chính xác.

Phương trình vi phân riêng phầnSửa đổi

Phương trình đạo hàm riêng (PDE) là một phương trình vi phân có chứa các hàm nhiều biến chưa biết và các đạo hàm riêng của chúng. (Điều này trái ngược với các phương trình vi phân thông thường, xử lý các hàm của một biến duy nhất và các đạo hàm của chúng.) PDE được sử dụng để xây dựng các vấn đề liên quan đến các hàm của một số biến và được giải quyết bằng tay hoặc được sử dụng để tạo ra một mô hình máy tính có liên quan.

PDE có thể được sử dụng để mô tả một loạt các hiện tượng như âm thanh, nhiệt, tĩnh điện, điện động lực học, dòng chất lỏng, độ đàn hồi, hoặc cơ học lượng tử. Các hiện tượng vật lý có vẻ khác biệt này có thể được hình thức hóa tương tự về mặt PDE. Cũng giống như phương trình vi phân thông thường thường mô hình hệ động lực một chiều, phương trình đạo hàm riêng thường mô hình hệ thống nhiều chiều. PDE tìm thấy tổng quát của chúng trong các phương trình vi phân riêng ngẫu nhiên.

Các loại phương trìnhSửa đổi

Các phương trình có thể được phân loại theo các loại hoạt động và số lượng liên quan. Các loại quan trọng bao gồm:

  • Một phương trình đại số hay đa thức phương trình là một phương trình mà trong đó cả hai bên đều đa thức (xem thêm hệ phương trình đa thức ). Đây là những phân loại tiếp theo theo bậc:
  • Một phương trình Diophantine là một phương trình mà ẩn số bắt buộc phải là số nguyên
  • Một phương trình siêu nghiệm là một phương trình liên quan đến một hàm siêu việt của những cái chưa biết của nó
  • Một phương trình tham số là một phương trình mà các giải pháp được tìm kiếm như các hàm của một số biến khác, được gọi là các tham số xuất hiện trong các phương trình
  • Một phương trình chức năng là một phương trình trong đó các ẩn số là các chức năng chứ không phải là các số đơn giản
  • Một phương trình vi phân là một phương trình chức năng liên quan đến các dẫn xuất của các chức năng không biết
  • Một phương trình tích phân là một phương trình chức năng liên quan đến các phản nghịch của các chức năng không biết
  • Một phương trình vi phân phân cực là một phương trình chức năng liên quan đến cả các dẫn xuất và các chất chống lại các chức năng không biết
  • Một phương trình khác biệt là một phương trình mà trong đó hàm không biết là một hàm f xảy ra trong phương trình thông qua f ( x ), f ( x -1),..., f ( x - k ) cho một số nguyên k được gọi là bậc của Phương trình. Nếu x được giới hạn là một số nguyên, một phương trình khác biệt là giống như một mối quan hệ tái phát.

Xem thêmSửa đổi

Ghi chúSửa đổi

  1. ^ The subject of this article is basic in mathematics, and is treated in a lot of textbooks. Among them, Lay 2005, Meyer 2001, and Strang 2005 contain the material of this article.

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ a ă Recorde, Robert, The Whetstone of Witte … (London, England: Jhon Kyngstone, 1557), trang thứ ba của chương "The rule of equation, commonly called Algebers Rule."
  2. ^ Marcus, Solomon; Watt, Stephen M. “What is an Equation?”. Truy cập ngày 27 tháng 2 năm 2019. 
  3. ^ Lachaud, Gilles. “Équation, mathématique”. Encyclopædia Universalis (bằng tiếng Pháp). 
  4. ^ "A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, identities and conditional equations (or usually simply "equations")". « Equation », in Mathematics Dictionary, Glenn James (mathematician) (de) et Robert C. James (de) (éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1st ed. 1948, tr. 131.
  5. ^ Thomas, George B., and Finney, Ross L., Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Co., fifth edition, 1979, p. 91.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Parametric Equations." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html