Mở trình đơn chính

Trong toán học, phương trình là một mệnh đề chứa biến có dạng:

Trong đó được gọi là các biến số của phương trình và mỗi bên của phương trình thì được gọi là một vế của phương trình. Chẳng hạn phương trình (1) có là vế trái vì nó nằm bên tay trái, là vế phải vì nó nằm bên tay phải.

Ở (4) ta có trong phương trình này a,b,c là các hệ số và x,y là các biến.

Có nhiều cách để phân loại phương trình. Phân loại phương trình theo số ẩn ta có: phương trình một ẩn, phương trình hai ẩn.... Phân loại phương trình theo các phép toán trong phương trình ta có phương trình vô tỷ, phương trình mũ, phương trình lôgarit...

Cần chú ý phân biệt phương trình với đẳng thức, ở đây đẳng thức nên hiểu là khái niệm phương trình trong Số học, khi đó 2 vế của chúng chỉ là các số như thể hiện rằng giá trị hai hàm số luôn bằng nhau với mọi biến số. Khi cẩn thận, nên sử dụng dấu "" thay cho dấu "=" khi viết đẳng thức, như trong (2) ở trên.

Trong ngôn ngữ lập trình cho máy tính, người ta hay quy ước dùng dấu "==" cho phương trình và dấu "=" cho đẳng thức. Biểu diễn phương trình như vậy trong lập trình sẽ trả lại giá trị đúng khi hai vế bằng nhau và sai khi hai vế khác nhau.

Thuộc tínhSửa đổi

Do phương trình có 2 vế là các đa thức, do đó phương trình thể hiện đầy đủ tính chất của đa thức, tức là:

Với mọi phương trình không phân bậc, chúng có thuộc tính sau:

  • Cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế với cùng một số với điều kiện phép nhân và chia cùng một số khác 0 và không chứa ĐKXĐ.
  • Bậc của phương trình là bậc của các đa thức, ở phương trình (4) thì nó là phương trình bậc II.
  • Rút gọn phương trình về tối giản tương tự như rút gọn đa thức không vi phạm ĐKXĐ.
  • Căn bậc n hoặc nâng lũy thừa bậc n nếu các đa thức đều không âm hoặc cùng âm và không vi phạm ĐKXĐ.
  • Các nghiệm phải thỏa mãn ĐKXĐ và làm 2 vế phương trình bằng nhau.

Chuyển vế đổi dấu thực chất là các phép cộng trừ tương ứng.

Điều kiện xác định (ĐKXĐ)Sửa đổi

Ta biết một đa thức có nghĩa khi nó không chia cho 0, căn bậc hai không âm (trên tập số thực) và  ,.... do đó khi ta biến đổi một phương trình có thể thu được một phương trình có các nghiệm ngoại lai, ta vừa phải xét điều kiện xác định vừa phải xét xem nó có làm 2 vế phương trình cân bằng hay không. Do đó ĐKXĐ được hiểu là điều kiện để các biểu thức tổng phương trình có nghĩa dẫn đến phương trình có nghĩa.

giả sử ta có phương trình sau:    

nếu ta trừ cả hai vế với   là sai vì   chứa ĐKXĐ của phương trình vì nếu giải như vậy phương trình thu được nghiệm là 1, do không tồn tại phép chia cho không nên cách giải của ta sai, phương trình này vô nghiệm.

Nghiệm của phương trìnhSửa đổi

Nghiệm của phương trình là bộ   tương ứng sao khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau, chẳng hạn ta có phương trình  , vậy nghiệm của phương trình là   vì nó làm cho 2 vế của phương trình bằng nhau. hoặc hiểu theo công thức tổng quát, phương trình    được gọi là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi   , điều này định nghĩa tương tự với các phương trình nhiều ẩn khác như .

Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Kí hiệu:  . Xuất phát từ chữ cái tiếng Anh là Set có nghĩa là tập, nhóm.

 
Ví dụ về biểu diễn hình học của phương trình hai ẩn, các phương trình một ẩn có nghiệm luôn nằm tại một điểm trên trục số.

Người ta cũng chứng minh được một phương trình có thể có một nghiệm, như   thì có một nghiệm duy nhất là 1, hoặc cũng có thể có 2 nghiệm, như   thì có 2 nghiệm đối nhau là  , hoặc vô nghiệm như   (Điều này xảy ra trên tập số thực) và có thể có vô số nghiệm như  . Nhưng số nghiệm luôn luôn bé hơn hoặc bằng (khi trên tập số thực) và bằng (khi trên tập số phức) số bậc của phương trình. Đó là định lý cơ bản của Đại số, trong sách Giáo khoa Giải tích 12 có nói về điều này trong bài cuối cùng của chương Số phức.

Để giải các phương trình đều có các công thức nghiệm nhất định. Tuy nhiên người ta chứng minh được không có công thức nghiệm tổng quát cho các phương trình có số bậc cao hơn bậc 4. Hơn nữa công thức nghiệm của phương trình bậc 3 và 4 rất phức tạp nên không được đề cập đến trong chương trình Sách giáo khoa.

Xem thêm: Phương trình bậc bốn, Phương trình bậc n

Chúng ta hoàn toàn có thể biểu diễn một phương trình bất kì bằng minh họa hình học, với số giao điểm là số nghiệm của phương trình, nhưng ta không thể đếm hết số giao điểm các nghiệm và do đó phải có một số công thức hữu hạn về nghiệm của phương trình.

Biểu diễn tập nghiệm được dùng như biểu diễn hàm số, nhưng điểm khác giữa 2 khái niệm này là phương trình là một hàm hằng với y=0 khi nó là phương trình một ẩn.

2 phương trình được gọi là tương đương nhau khi chúng có cùng tập nghiệm, tức là sẽ có các phép biến đổi thuộc tính biến phương trình này thành phương trình kia.

Các loại phương trìnhSửa đổi

Các phương trình có thể được phân loại theo các loại hoạt động và số lượng liên quan. Các loại quan trọng bao gồm:

  • Một phương trình đại số hay đa thức phương trình là một phương trình mà trong đó cả hai bên đều đa thức (xem thêm hệ phương trình đa thức ). Đây là những phân loại tiếp theo theo bậc:
  • Một phương trình Diophantine là một phương trình mà ẩn số bắt buộc phải được số nguyên
  • Một phương trình siêu nghiệm là một phương trình liên quan đến một chức năng siêu việt của những cái chưa biết của nó
  • Một phương trình tham số là một phương trình mà các giải pháp được tìm kiếm như các hàm của một số biến khác, được gọi là các tham số xuất hiện trong các phương trình
  • Một phương trình chức năng là một phương trình trong đó các ẩn số là các chức năng chứ không phải là các số đơn giản
  • Một phương trình vi phân là một phương trình chức năng liên quan đến các dẫn xuất của các chức năng không biết
  • Một phương trình tích phân là một phương trình chức năng liên quan đến các phản nghịch của các chức năng không biết
  • Một phương trình vi phân phân cực là một phương trình chức năng liên quan đến cả các dẫn xuất và các chất chống lại các chức năng không biết
  • Một phương trình khác biệt là một phương trình mà trong đó hàm không biết là một hàm f xảy ra trong phương trình thông qua f ( x ), f ( x -1),..., f ( x - k ) cho một số nguyên k được gọi là trật tự của Phương trình. Nếu x được giới hạn là một số nguyên, một phương trình khác biệt là giống như một mối quan hệ tái phát.

Vai tròSửa đổi

Phương trình được coi như đóng vai trò đắc lực và sử dụng phổ biến nhất trong Toán học vì chỉ cần học xong chương trình cấp 2 ta đã có thể có kĩ năng giải phương trình bậc hai ứng dụng trong đời sống. Phương trình cũng là lý thuyết trọng tâm của Đại số và có thể nói không có phương trình thì không có Đại số. Nó cũng góp phần xây dựng các khái niệm khác như Hệ phương trình, bất phương trình,...

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi