Đồ thị của hàm số (màu đen) và tiếp tuyến của nó (màu đỏ). Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm đó tại tiếp điểm (điểm được đánh dấu).

Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số thực chất là sự mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích. Chẳng hạn, trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn.

Đạo hàm có biểu diễn trong hình học là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Tiếp tuyến đó là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của hàm ở gần giá trị đầu vào. Vì lý do đó, đạo hàm còn được gọi là "tốc độ biến thiên tức thời", tỉ số giữa số gia của biến phụ thuộc và số gia của biến độc lập.

Đối với hàm đa biến, đạo hàm là phép biến đổi tuyến tính, trong đó đồ thị là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất đối với đồ thị của hàm ban đầu. Ma trận Jacobima trận mô tả phép biến đổi tuyến tính này theo các biến độc lập và phụ thuộc, chứa các đạo hàm riêng của hàm đó giữa hai không gian vector. Với hàm số thực gồm nhiều biến, ma trận Jacobi được rút gọn thành vector gradien.

Phép toán để tính đạo hàm được gọi là vi phân. Khái niệm ngược lại với đạo hàm là nguyên hàm. Định lý cơ bản của giải tích liên hệ nguyên hàm với tích phân. Vi phân và tích phân là hai công cụ cơ bản trong giải tích đơn biến.

Định nghĩaSửa đổi

Vi phân là phương pháp để tính đạo hàm. Đạo hàm của hàm số y = f(x), với x là biến số, mô tả sự thay đổi giá trị của y tương ứng khi x biến thiên, và còn được gọi là đạo hàm của f đối với x. Nếu xy đều thuộc tập số thực thì đạo hàm của hàm số là hệ số góc của đồ thị hàm đó tại mỗi điểm trong mặt phẳng tọa độ.

 
Độ dốc của hàm số bậc nhất:  

Ta xét trường hợp đơn giản nhất: gọi yhàm số bậc nhất của x, khi đó đồ thị của hàm là một đường thẳng. Trong trường hợp này, y = f(x) = mx + b với mb là các số thực và hệ số góc m được tính bằng công thức:

 

trong đó Δ (delta) là viết tắt của "thay đổi", Δx (số gia của đối số) và Δy (số gia tương ứng của hàm số) chỉ sự biến thiên của xy,  . Công thức trên được chứng minh do:

 

Suy ra

 

Biểu thức trên cho ta giá trị hệ số góc của một đường thẳng.

Xác định tốc độ thay đổi của hàm số bằng hình học
Hình 1. Tiếp tuyến tại (x, f(x))
Hình 2. Cát tuyến của đường cong y= f(x) tại 2 điểm (x, f(x)) và (x + h, f(x + h))
Hình 3. Khi h tiến dần về 0 thì cát tuyến trên trở thành tiếp tuyến của đồ thị
Hình 4. Hình ảnh động: tiếp tuyến của đồ thị là giới hạn của cát tuyến khi h tiến về 0.

Nếu f không phải là hàm bậc nhất (đồ thị của nó không phải là đường thẳng), tỉ số   sẽ khác nhau trên khoảng được xét: phép vi phân là cách để tìm tốc độ thay đổi của hàm tại bất kì giá trị nào của x. Ý tưởng trên được thực hiện bằng cách tìm giới hạn của   khi Δx tiến dần về 0, thể hiện qua hình 1, 2, 3.

Kí hiệuSửa đổi

Đạo hàm có hai kí hiệu phổ biến, được đặt theo tên của hai nhà toán học Gottfried Wilhelm LeibnizJoseph Louis Lagrange. Kí hiệu thứ ba do Isaac Newton tìm ra và thỉnh thoảng được dùng trong vật lý hay hình học vi phân.[1][2]

Trong kí hiệu Leibniz (được công bố năm 1675)[3], sự biến thiên rất nhỏ của x gọi là dx nên đạo hàm của y đối với x được viết là:

 

chỉ tỉ số của hai đại lượng rất nhỏ.

Trong kí hiệu Lagrange, đạo hàm của x đối với hàm số f(x)f'(x) hoặc fx′(x).

Kí hiệu Newton gồm một dấu chấm đặt ở phía trên biến phụ thuộc. Theo đó, nếu y là hàm số biến t thì đạo hàm của y theo t được kí hiệu là

 

Đối với đạo hàm cấp cao, người ta dùng nhiều dấu chấm, chẳng hạn:

 

Kí hiệu Newton thường được dùng nếu biến độc lập chỉ thời gian. Nếu vị trí y là hàm của t thì   chỉ vận tốc[4]  chỉ gia tốc[5].

Định nghĩaSửa đổi

 
Một cát tuyến dần trở thành tiếp tuyến khi  .

Từ ý tưởng trực quan trên, người ta xây dựng định nghĩa đạo hàm theo cách sau[6]: Gọi f là hàm số thực xác định trên một lân cận mở của số thực a. Trong hệ trục tọa độ, tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tại a là đường thẳng duy nhất tiếp xúc với đồ thị tại điểm (a, f(a)). Hệ số góc m của tiếp tuyến đó rất gần với hệ số góc của đường cát tuyến cắt đồ thị tại (a, f(a)) và điểm lân cận (a + h, f(a + h)). Nếu giá trị (tuyệt đối) của h càng gần bằng 0 thì giá trị m càng chính xác. m được tính bằng tỉ sai phân Newton, tức là bằng khoảng cách giữa hai giá trị y của hai điểm trên chia cho khoảng cách giữa hai giá trị x:[7]

 

Vì giới hạn của cát tuyến là tiếp tuyến của đồ thị nên giới hạn của biểu thức trên khi h tiến về 0 (nếu có) là hệ số góc của tiếp tuyến tại (a, f(a)). Giới hạn đó chính là đạo hàm của hàm số f tại a:[8]

 

Khi giới hạn này tồn tại, f được gọi là hàm số khả vi tại a. Từ định nghĩa trên, rõ ràng hàm số khả vi fhàm số tăng khi và chỉ khi đạo hàm của nó dương, và là hàm số giảm khi và chỉ khi đạo hàm của nó âm. Người ta thường ứng dụng tính chất này trong việc khảo sát tính đơn điệu hay tìm các điểm cực trị của hàm.

Tương tự, một tính chất khác của đạo hàm là

 

đã làm sáng tỏ rằng tiếp tuyến của f tại a (hình 1) cho ta phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất:

 

với h rất nhỏ.

Tuy nhiên nếu h bằng 0 thì tỉ sai phân trên không xác định vì không tồn tại phép chia cho số 0. Thay vào đó, ta đặt Q(h) là tỉ sai phân như là hàm số biến h:

 

Q(h) là hệ số góc của cát tuyến giữa (a, f(a))(a + h, f(a + h)). Nếu fhàm số liên tục (đồ thị của nó không bị đứt đoạn hay bẻ gập) thì Q là hàm số gián đoạn tại h = 0. Nếu tồn tại giới hạn limh→0Q(h), tức là có thể gán một giá trị bất kì cho Q(0) để Q là hàm số liên tục, thì f có đạo hàm trên a và đạo hàm đó bằng Q(0).

Trong thực tế, người ta thường mở rộng thêm tính liên tục của tỉ sai phân Q(h) tại h = 0 bằng cách biến đổi tử số để loại h ở mẫu. Thao tác này giúp giới hạn của Q rõ ràng và chính xác hơn, dù Q vẫn không xác định tại h = 0, tuy nhiên quá trình có thể kéo dài lâu với các hàm số phức tạp.

Ví dụSửa đổi

 
Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai f(x) = x2 có đạo hàm tại x = 3 và đạo hàm đó bằng 6. Điều này có được bằng cách tính giới hạn của tỉ sai phân của f(3) khi h tiến về 0:

 

Ta thấy tỉ sai phân trên bằng 6 + h khi h ≠ 0 và không xác định khi h = 0. Giới hạn của nó là kết quả của việc cho h về 0 và là giá trị của 6 + h khi h trở nên rất nhỏ:

 

Vậy hệ số góc của đồ thị hàm số tại điểm (3, 9)6 và đạo hàm của hàm số tại x = 3f(3) = 6.

Tổng quát, đạo hàm của hàm số bậc hai tại x = af(a) = 2a:

 

Tính khả vi và tính liên tụcSửa đổi

 
Hàm số này không có đạo hàm tại điểm được đánh dấu vì nó không liên tục tại đó.

Nếu f có đạo hàm tại a thì f cũng phải liên tục trên a. Lấy ví dụ, chọn một điểm a và coi f như là một hàm bước có giá trị là 1 với mọi x nhỏ hơn a và 10 với mọi x lớn hơn hoặc bằng a. f không thể có đạo hàm tại a. Nếu h âm thì cát tuyến từ a đến a + h sẽ rất dốc, và khi h dần về 0 thì hệ số góc sẽ dần đến vô cực. Nếu h dương thì cát tuyến từ a đến a + h có hệ số góc bằng 0. Trong mỗi trường hợp trên, cát tuyến không đạt đến một hệ số góc duy nhất, nên giới hạn của tỉ sai phân không tồn tại.

 
Hàm giá trị tuyệt đối là hàm liên tục, nhưng không khả vi tại x = 0 vì các giá trị hệ số góc của tiếp tuyến vẽ từ bên trái trục tung và từ bên phải trục tung là không bằng nhau

Tuy vậy, một hàm số có thể liên tục tại một điểm nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Chẳng hạn, hàm giá trị tuyệt đối f(x) = | x | liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Nếu h dương thì hệ số góc của cát tuyến từ 0 đến h là 1, còn nếu h âm thì hệ số góc đó bằng -1. Trên mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hàm số đó bị "bẻ gập" tại x = 0. Kể cả hàm số có đồ thị trơn cũng không khả vi tại một điểm mà tiếp tuyến qua nó nằm dọc, chẳng hạn, hàm số f(x) = x1/3 không có đạo hàm tại x = 0.

Tóm lại, một hàm số có đạo hàm là hàm số liên tục, nhưng có những hàm liên tục lại không có đạo hàm.

Phần lớn hàm số trong thực tế có đạo hàm tại mọi điểm (hoặc tại hầu hết mọi điểm). Trong thời kì đầu của lịch sử ngành giải tích, nhiều nhà toán học cho rằng một hàm số liên tục luôn có đạo hàm tại nhiều điểm. Năm 1872, Weierstrass phát hiện ví dụ đầu tiên về một hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng không khả vi tại bất cứ đâu. Hàm đó sau này được đặt tên là hàm Weierstrass. Năm 1931, Stefan Banach chứng minh được rằng tập hợp các hàm số có đạo hàm tại một số điểm nhất định là tập con rất nhỏ so với tập hợp các hàm liên tục.[9]

Đạo hàm là một hàm sốSửa đổi

 
Đạo hàm của một hàm khả vi tại các điểm khác nhau. Ở đây ta có  

Gọi f là hàm số luôn có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định. Chúng ta có thể tìm được một hàm số mà với x bất kì, giá trị của hàm bằng với giá trị của đạo hàm của f tại x. Hàm số đó được gọi là đạo hàm của f và kí hiệu là f'.

Thỉnh thoảng f có đạo hàm tại phần lớn điểm trên tập xác định (không phải mọi điểm). Hàm số mà giá trị của nó tại a bằng f(a) khi f(a) xác định, và không xác định tại mọi điểm khác, cũng được gọi là đạo hàm của f, dù tập xác định của nó hoàn toàn nhỏ hơn.

Bằng ý tưởng này, phép vi phân trở thành một hàm hợp: đạo hàm là một toán tử mà tập xác định của nó là tập hợp tất cả các hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định và tập hợp đích của nó là một tập hợp các hàm số. Kí hiệu toán tử trên là D thì D(f) là hàm số f'. D(f) là hàm số xác định tại a nên ta có D(f)(a) = f(a).

Để so sánh, ta xét hàm số f(x) = 2x: f là hàm số thực có đầu vào là một số, đầu ra cũng là một số:

 

Toán tử D chỉ xác định trên các hàm số:

 

Đầu ra của D là một hàm số, có thể định được giá trị tại một điểm. Ví dụ: đầu vào của Dxx2 cho đầu ra x ↦ 2x mà ta gọi là f(x). Các giá trị tương ứng của đầu ra đó là f(1) = 2, f(2) = 4,...

Đạo hàm cấp caoSửa đổi

Gọi f là hàm số khả vi và f ' là đạo hàm của nó. Đạo hàm của f ' (nếu có) được gọi là đạo hàm cấp hai của f và kí hiệu là f ′′. Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp hai (nếu có) được gọi là đạo hàm cấp ba của f và kí hiệu là f ′′′. Cứ như vậy, ta xác định đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp n-1. Các đạo hàm trên được gọi chung là đạo hàm cấp cao.

Nếu x(t) mô tả vị trí của một vật ở thời gian t thì mỗi đạo hàm cấp cao của x mang một ý nghĩa riêng trong vật lý. Đạo hàm cấp một của xvận tốc của vật. Đạo hàm cấp hai của xgia tốc. Đạo hàm cấp ba của x là độ giật,...

Một hàm số f(x) không cần phải có đạo hàm (chẳng hạn, nếu hàm đó không liên tục). Tương tự, ngay cả khi f(x) có đạo hàm, nó có thể không có đạo hàm cấp hai. Chẳng hạn, cho hàm số

 

f là hàm số khả vi và đạo hàm của nó tại x

 

f'(x) không có đạo hàm tại x = 0. Những ví dụ tương tự cho thấy một hàm số có thể có đạo hàm cấp k (với k là số nguyên dương) nhưng không có đạo hàm cấp k + 1. Một hàm số có k đạo hàm liên tiếp thì khả vi k lần. Nếu đạo hàm thứ k là liên tục thì hàm số sẽ thuộc lớp khả vi Ck. Một hàm số có vô số đạo hàm là hàm khả vi vô hạn.

Trên trục số thực, mọi hàm số đa thức đều là hàm khả vi vô hạn. Theo quy tắc tính đạo hàm, đa thức bậc n sau n lần vi phân sẽ thành hàm hằng, và mọi đạo hàm tiếp theo đều bằng 0.

Đạo hàm của hàm số f tại một điểm x cho ta phép tính đa thức gần đúng với một hàm f(x). Ví dụ, nếu f (x)khả vi hai lần thì

 

 

Nếu f khả vi vô hạn thì đây là phần đầu của chuỗi Taylor với f tính được tại x + h gần với x.

Điểm uốnSửa đổi

Một điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai của hàm số đổi dấu được gọi là điểm uốn.[10] Tại điểm uốn, đạo hàm cấp hai có thể bằng 0 (như tại điểm uốn x = 0 của hàm số  ) hoặc không tồn tại (như tại điểm uốn x = 0 của hàm số  ). Tại điểm uốn, hàm số chuyển từ hàm lồi sang hàm lõm và ngược lại.

Quy tắc tính đạo hàmSửa đổi

Đạo hàm của hàm số có thể được tính theo định nghĩa bằng cách tìm tỉ sai phân của hàm và tính giới hạn của nó. Trong thực tế, từ một số hàm đơn giản, đạo hàm của các hàm số khác phức tạp được tính dễ dàng hơn bằng cách áp dụng các quy tắc nhất định.

Đạo hàm của hàm số sơ cấpSửa đổi

Dưới đây là quy tắc tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp, với a hoặc n là một số thực.[11][12]

  • Đạo hàm lũy thừa:  
    • Đặc biệt:  
  • Đạo hàm căn bậc hai:  
  • Đạo hàm căn bậc n:  
  • Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:
 
 
 
 
 
 
 
 
  • Đạo hàm của hàm số lượng giác ngược:
 
 
 

Đạo hàm của hàm hợpSửa đổi

Nhiều lúc việc tính đạo hàm bằng tỉ sai phân Newton rất phức tạp, ta có thể tránh điều này qua một số quy tắc sau:[13]

  • Đạo hàm của hằng số:  
  • Quy tắc cộng:   với mọi hàm số fg và mọi số thực   .
  • Quy tắc nhân:
  với mọi hàm số fg.
  với   là hằng số.
  • Quy tắc chia:   (g khác 0)
  • Quy tắc hàm hợp: Nếu   thì  

Hệ quảSửa đổi

Từ các quy tắc trên, ta suy ra:

  • Với u là hàm số:
    • Đạo hàm lũy thừa:  
      • Đặc biệt:  
    • Đạo hàm căn bậc hai:  
    • Đạo hàm căn bậc n:  
    • Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:
 
 
 
 
  • Đạo hàm của hàm số lượng giác:
 
 
 
 
  • Đạo hàm của các phân thức hữu tỉ:
 
 
 

Đạo hàm cấp caoSửa đổi

  • Đạo hàm lũy thừa:  
  • Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:
 
 
 
 
  • Đạo hàm của hàm số lượng giác:
 
 
  • Đạo hàm của phân thức hữu tỉ:  

Đạo hàm trong không gianSửa đổi

Hàm vectorSửa đổi

Hàm vector y của một biến số thực cho giá trị vector trong không gian Rn với mỗi số thực bất kì. Một hàm vector có thể được chia thành các hàm tọa độ y1(t), y2(t), ..., yn(t), tức là y(t) = (y1(t), ..., yn(t)). Nó cũng bao gồm các phương trình tham số tại R2 hay R3. Các hàm tọa độ này là hàm số thực, nên định nghĩa đạo hàm cũng đúng với chúng. Đạo hàm của y(t) là một vector, được gọi là vector tiếp tuyến, mà tọa độ của nó là đạo hàm của các hàm tọa độ, nghĩa là:

 

hay

 

nếu giới hạn đó tồn tại. Ở đây tử thức là một đại lượng vector, không phải đại lượng vô hướng. Nếu đạo hàm của y tồn tại với mọi giá trị của t thì y' cũng là một hàm vector.

Nếu e1, ..., en là các vector đơn vị trong Rn thì y(t) có thể được viết thành y1(t)e1 + ... + yn(t)en. Vì mỗi vector đơn vị đều là hằng số nên theo quy tắc nhân:

 

Trong vật lý, nếu y(t) là vector vị trí của một chất điểm tại thời điểm t thì y'(t) là vector vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm t.

Đạo hàm riêngSửa đổi

Gọi f là hàm số đa biến, chẳng hạn:

 

f còn được gọi là họ các hàm một biến được biểu thị bởi biến số khác:

 

Nói cách khác, mỗi giá trị của x xác định một hàm đơn biến fx:

 
 

Chọn một giá trị x = a, ta có hàm số fa:

 

Ở đây a là hằng số, không phải là biến nên fa là hàm đơn biến. Theo định nghĩa đạo hàm đơn biến thì

 

Lặp lại tương tự với mọi giá trị khác của a. Tổng hợp lại, ta có hàm số biểu diễn sự biến thiên của f theo y:

 

Đó là đạo hàm riêng của f theo y. Ở đây ∂ được gọi là kí hiệu đạo hàm riêng. Tổng quát, đạo hàm riêng của hàm f(x1, ..., xn) theo hướng xi tại điểm (a1, ..., an) là:

 

Trong tỉ sai phân trên, mọi biến trừ xi đều mang giá trị không đổi, nên hàm đơn biến sau được xác định:

 

và theo định nghĩa:

 

Nói cách khác, với các giá trị khác nhau của a, ta xác định được một họ các hàm đơn biến như ví dụ trên đây.

Một ví dụ quan trọng của hàm đa biến là trường hợp một hàm vô hướng f(x1, ..., xn) xác định trên một miền của không gian Euclid Rn (chẳng hạn, R2 hay R3). Trong trường hợp này, f có đạo hàm riêng ∂f/∂xj với mỗi biến xj. Tại điểm (a1, ..., an), các đạo hàm riêng này định ra vector

 

Vector này được gọi là gradien của f tại a. Nếu f khả vi tại mọi điểm trong miền xác định thì gradien là một hàm vector ∇f đưa một điểm (a1, ..., an) đến vector ∇f(a1, ..., an). Do đó, gradien là một trường vector.

Đạo hàm có hướngSửa đổi

Nếu f là hàm số thực trên Rn thì đạo hàm riêng của f mô tả sự biến thiên của nó theo hướng của các trục tọa độ. Chẳng hạn, nếu f là một hàm gồm hai biến xy thì các đạo hàm riêng của f biểu diễn sự biến thiên của nó theo hai trục xy. Tuy nhiên, chúng không trực tiếp biểu diễn được sự biến thiên của f theo các trục khác (như đường thẳng y = x). Để khắc phục, ta sử dụng đạo hàm có hướng. Chọn một vector

 

Đạo hàm có hướng của f theo hướng của v tại điểm x là giới hạn

 

Trong nhiều trường hợp, để hỗ trợ tính toán, ta thường thay đổi độ dài vector để quy về bài toán tính đạo hàm có hướng theo một vector đơn vị. Để chứng minh hiệu quả, ta đặt v = λu. Thay h = k/λ vào tỉ sai phân, ta có:

 

hay bằng λ lần tỉ sai phân của đạo hàm có hướng của f theo u. Hơn nữa, việc lấy giới hạn khi h tiến về 0 cũng giống như khi k tiến về 0 vì hk là bội số của nhau. Do đó, Dv(f) = λDu(f). Vì tính chất này nên thường ta chỉ xét đạo hàm có hướng đối với các vector đơn vị.

Nếu tất cả đạo hàm riêng của f tồn tại và liên tục tại x thì chúng xác định đạo hàm có hướng của f theo hướng của v bằng công thức:

 

Đó là hệ quả của định nghĩa đạo hàm tổng. Theo đó, đạo hàm có hướng tuyến tính trên v, nghĩa là Dv + w(f) = Dv(f) + Dw(f).

Định nghĩa trên cũng đúng khi f là hàm số lấy giá trị trong Rm. Khi đó, đạo hàm có hướng là một vector trong Rm.

Đạo hàm tổng, vi phân tổng và ma trận JacobiSửa đổi

Khi f là hàm số xác định trên một tập mở của Rn đến Rm thì đạo hàm có hướng của f theo một hướng xác định là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của f tại điểm đó và theo hướng đó. Nhưng khi n > 1 thì không đạo hàm có hướng nào có thể mô tả trạng thái biến thiên của f một cách toàn diện. Để khắc phục, ta sử dụng đạo hàm tổng. Với mỗi vector v bắt đầu tại a, ta có:

 

Giống như đạo hàm đơn biến, f'(a) được chọn sao cho sai số trong biểu thức là thấp nhất có thể.

Nếu nm cùng bằng 1 thì đạo hàm f'(a) là một số và f'(a)v là tích của hai số. Nhưng trong không gian, f'(a) không thể là một số, vì nếu vậy thì f'(a)v phải là một vector trên Rn và số hạng còn lại là vector trên Rm, đó là điều vô lý. Do đó, f'(a) phải là một hàm đưa vector ở Rn đến vector ở Rmf'(a)v phải chứng tỏ hàm đó xác định tại v.

Để tìm xem hàm đó có dạng gì, chú ý rằng phép xấp xỉ tuyến tính có thể được viết lại thành

 

Nếu ta chọn một vector w khác v thì biểu thức này xác định thêm một phép xấp xỉ tuyến tính khác bằng cách thay v bằng w. Nó cũng xác định một phép xấp xỉ tuyến tính thứ ba bằng cách thay v bằng w và thay a bằng a + v. Trừ vế cho vế ở hai biểu thức trên, ta được

 

Nếu coi v là nhỏ và đạo hàm đó biến đổi liên tục trên a thì f'(a + v) xấp xỉ bằng f'(a) nên vế phải xấp xỉ bằng 0. Bằng cách ứng dụng phép xấp xỉ tuyến tính với v thay bằng v + w, ta viết lại vế trái như sau:

 

Điều này chứng tỏ rằng f'(a) là phép biến đổi tuyến tính từ không gian vector Rn sang không gian vector Rm.

Thực tế, đạo hàm đơn biến là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất vì đó là giới hạn của tỉ sai phân. Tuy nhiên, biểu thức này không hợp lý trong không gian, vì không phải lúc nào ta cũng thực hiện được phép chia các vector. Đặc biệt, trong tỉ sai phân, tử thức và mẫu thức không thuộc cùng một không gian vector: tử thuộc tập con Rn còn mẫu thuộc tập Rm. Hơn nữa, đạo hàm là phép biến đổi tuyến tính, do đó, để f'(a) là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất thì cần điều chỉnh một công thức khác cho đạo hàm đơn biến để giải quyết vấn đề. Nếu f : R R, ta biến đổi biểu thức để cho thấy đạo hàm của f tại a là một số f'(a) duy nhất sao cho

 

hoặc đồng nghĩa với

 

vì giới hạn của biểu thức bằng 0 khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của nó tiến về 0. Biểu thức cuối có thể áp dụng được cho hàm đa biến bằng cách thay giá trị tuyệt đối bằng chuẩn.

Do đó, người ta định nghĩa: Đạo hàm tổng của f tại a là phép biến đổi tuyến tính duy nhất f'(a) : Rn Rm sao cho

 

Nếu đạo hàm tổng này tồn tại ở a thì tất cả đạo hàm riêng và đạo hàm có hướng của f đều tồn tại ở a, và với mọi v, f'(a)v là đạo hàm có hướng của f theo hướng v. Nếu ta viết lại f theo các hàm tọa độ, tức là f = (f1, f2, ..., fm) thì đạo hàm tổng có thể được biểu thị bằng cách coi các đạo hàm riêng như là một ma trận. Ma trận đó được gọi là ma trận Jacobi của f tại a:

 

Nếu đạo hàm riêng tồn tại và liên tục thì đạo hàm tổng tồn tại, được xác định bằng ma trận Jacobi và phụ thuộc liên tục vào a.

Định nghĩa đạo hàm tổng còn gộp vào thêm định nghĩa đạo hàm đơn biến, tức là, nếu f là hàm số thực đơn biến thì đạo hàm tổng tồn tại khi và chỉ khi đạo hàm thường của nó tồn tại. Ma trận Jacobi khi đó được thu gọn thành ma trận 1×1, trong đó đạo hàm f'(x) là phần tử duy nhất. Ma trận 1×1 này thỏa mãn tính chất f(a + h) - (f(a) + f'(a)h) có giá trị xấp xỉ bằng 0, hay

 

Đây cũng là phát biểu cho rằng hàm   là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của f tại a.

Lịch sửSửa đổi

Vi tích phân là một nhánh của toán học tập trung vào giới hạn, hàm số, đạo hàm, tích phânchuỗi vô hạn. Isaac NewtonGottfried Leibniz tìm ra vi tích phân vào giữa thế kỷ 17.

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ Evans, Lawrence (1999). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. tr. 63. ISBN 0-8218-0772-2. 
  2. ^ Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover. tr. 1. ISBN 0-486-66721-9. 
  3. ^ Bản thảo ngày 11 tháng 11 năm 1675 (Cajori quyển 2, tr. 204)
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Overdot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. “Archived copy”. Bản gốc lưu trữ ngày 5 tháng 9 năm 2015. 
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Double Dot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. “Archived copy”. Bản gốc lưu trữ ngày 3 tháng 3 năm 2016. 
  6. ^ Spivak 1994, chuơng 10
  7. ^ Bogley, William A.; Robson, Robby (1996). “Difference Quotient” [Tỉ sai phân]. CalculusQuest. 
  8. ^ Bogley, William A.; Robson, Robby (1996). “Differentiability” [Tính khả vi]. CalculusQuest. 
  9. ^ Banach, S. (1931). Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia Math. (3). tr. 174–179.  Trích dẫn bởi Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. Theorem 17.8. 
  10. ^ Apostol 1967, §4.18
  11. ^ Đại số và giải tích 11 (cơ bản, tr. 168).
  12. ^ Giải tích 12 (cơ bản, tr. 78).
  13. ^ Đại số và giải tích 11 (cơ bản, tr. 162).

Tham khảoSửa đổi

Sách inSửa đổi

Sách trực tuyếnSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi