Chuỗi Taylor

Hình vẽ miêu tả hàm số sin(x) và các xấp xỉ Taylor của nó, tức là chuỗi Taylor bậc 1, 3, 5, 7, 9, 11 và 13 của hàm tại gần điểm x = 0. Khi bậc của chuỗi Taylor tăng, chuỗi này càng tiệm cận đến hàm chính xác ở gần điểm x = 0.

Trong toán học, một chuỗi Taylor của một hàm toán học khả vi thực hay phức, f định nghĩa trên miền xác định (a − r, a + r) là một chuỗi lũy thừa:

$T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

$T(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\cdots$

Với n! là giai thừa của n và f ⁽ⁿ⁾(a) là đạo hàm bậc n của f tại điểm a. Nếu a = 0, chuỗi này cũng được gọi là chuỗi Maclaurin.

Ví dụ:

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\sin(x)={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-\ldots$

Chuỗi Taylor được ứng dụng trong lý thuyết xấp xỉ, và giải tích. Nó cũng được mở rộng cho hàm số đa biến, khi coi a và r là các véctơ trên không gian của miền xác định của hàm.

Xem thêm

• Chuỗi Laurent
• Định lý Taylor

Liên kết ngoài

• "Taylor Series" ở MathWorld
• Madhava of Sangamagramma
• "Discussion of the Parker-Sochacki Method"