Tích phân từng phần

Trong vi tích phân nói riêng, và trong giải tích toán học nói chung, tích phân từng phần là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

Nếu u = u(x) và du = u′(xdx, trong đó v = v(x) và dv = v′(xdx, thì tích phân từng phần phát biểu rằng:

hay gọn hơn:

Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjestích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là tổng từng phần.

Định lýSửa đổi

Tích của hai hàmSửa đổi

Định lý có thể được suy ra như sau. Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi liên tục. Quy tắc nhân phát biểu rằng (theo ký hiệu của Leibniz):

 

Tích phân cả hai vế đối với x,

 

sau đó áp dụng định nghĩa của nguyên hàm,

 
 

cho ta công thức tích phân từng phần.

Bởi vì du và dv là các vi phân của một hàm một biến x,

 
 

Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (đạo hàm của v); để áp dụng định lý, phải tim nguyên hàm v (của v′), và tính tích phân ∫vu′ dx.

Mở rộng cho các trường hợp khácSửa đổi

Điều kiện u và v khả vi liên tục là không thực cần thiết. Tích phân từng phần chỉ được áp dụng nếu u là liên tục tuyệt đối và hàm được chọn v' phải khả tích Lebesgue (nhưng không nhất thiết là liên tục).[1] (Nếu v' có một điểm gián đoạn thì nguyên hàm v của nó có thể không có đạo hàm tại điểm đó.)

Nếu khoảng tích phân không phải là không gian compact thì u không cần thiết phải hoàn toàn liên tục trong toàn khoảng hoặc v ' không cần thiết phải là khả tích Lebesgue trong khoảng, như một vài ví dụ sẽ cho thấy, trong đó u và v là liên tục và khả vi liên tục. Ví dụ nếu

 

u không liên tục hoàn toàn trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên

 

miễn là   có nghĩa là giới hạn   khi  và miễn là hai số hạng ở vế phải hữu hạn. Điều này chỉ đúng khi chúng ta chọn   Tương tự, nếu

 

v' không khả vi Lebesgue trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên

 

với giải thích tương tự.

Người ta cũng có thể dễ dàng đưa ra những ví dụ như thế này nhưng trong đó u và v không khả vi liên tục.

Tích của nhiều hàmSửa đổi

Áp dụng quy tắc tích để tìm tích phần cho ba hàm nhân nhau, u(x), v(x), w(x), cho kết quả tương tự:

 

Tổng quát với n thừa số

 

dẫn đến

 

trong đó tích thuộc tất cả các hàm ngoại trừ một hàm được lấy đạo hàm trong cùng số hạng.

Sự hình dungSửa đổi

 
Giải thích bằng đồ họa của định lý. Đường cong trong hình được tham số hoá bởi biến t.

Xem xét đường cong tham số bởi (x, y) = (f(t), g(t)). Giả sử rằng đường cong là đơn ánh cục bộ và khả tích cục bộ, ta định nghĩa

 
 

Diện tích vùng màu xanh là

 

Tương tự như vậy, diện tích của vùng màu đỏ là

 

Tổng diện tích A1 + A2 bằng diện tích của hình chữ nhật lớn hơn, x2y2, trừ đi diện tích của hình chữ nhật nhỏ hơn, x1y1:

 

Hoặc theo tham số t

 

Hoặc biễu diễn theo nguyên hàm:

 

Chỉnh lại:

 

Từ đó tích phân từng phần có thể coi là diện tích của vùng màu xanh trong tổng diện tích và diện tích của vùng đỏ.

Sự hình dung này cũng lý giải việc tích phân từng phần có thể tính tích phân của hàm nghịch đảo f−1(x) khi đã biết tích phân của f(x). Thật vậy, nếu hàm x(y) và y(x) là nghịch đảo của nhau thì có thể tìm tích phân ∫x dy khi đã biết tích phân ∫y dx. Cụ thể, điều này giải thích việc kết hợp sử dụng tích phân từng phần với hàm logarithmhàm lượng giác nghịch đảo.

Ứng dụng để tìm nguyên hàmSửa đổi

Kịch bảnSửa đổi

Tích phân từng phần là một quá trình suy nghiệm hơn là một quá trình máy móc thuần tuý để tính toán tích phân; cho một hàm đơn để tích phân, các chiến lược điển hình là cẩn thận tách nó thành tích của hai hàm u(x)v(x) sao cho tích phân được tạo bởi công thức tích phân từng phần dễ tính toán hơn so với tích phân gốc. Công thức sau minh họa kịch bản trường hợp tốt nhất:

 

Lưu ý rằng ở vế phải, u được lấy đạo hàm và v được lấy tích phân; do đó sẽ hữu ích khi chọn u là một hàm có thể giản hóa khi lấy đạo hàm, hoặc khi chọn v là hàm đơn giản hóa được khi được lấy tích phân. Xét ví dụ đơn giản sau:

 

Do đạo hàm của ln(x) là 1/x, ta chọn (ln(x)) là u; do nguyên hàm của1/x2 là -1/x, chọn 1/x2dx làm dv. Từ đó ta có:

 

Nguyên hàm của   có thể được tìm thấy bằng quy tắc luỹ thừa và bằng  .

Ngoài ra, người ta có thể chọn u và v sao cho tích u' (∫v dx) triệt tiêu nhau. Ví dụ, giả sử ta muốn tích phân:

 

Nếu chúng ta chọn u(x) = ln(|sin(x)|) và v(x) = sec2x, thì u được lấy vi phân tới 1/ tan x bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi và v được lấy tích phân tan x; do đó công thức cho:

 

Hàm lấy tích phân trở thành 1 và có nguyên hàm là x. Tìm ra sự kết hợp co thể giản hóa thường cần thử sai.

Trong một số trường hợp, không đảm bảo rằng tích phân tạo bởi tích phân từng phần sẽ có dạng đơn giản; Ví dụ, trong giải tích số, ta có thể chấp nhận khi chỉ tạo ra một số sai sót nhỏ. Một số kỹ thuật đặc biệt khác được chứng minh trong các ví dụ dưới đây.

Hàm đa thức và hàm lượng giác

Để tính

 

đặt:

 
 

thì:

 

với Chằng số tích phân.

Đối với bậc cao hơn của x trong dạng

 

sử dụng nhiều lần tích phân từng phần có thể tính các tích phân thuộc loại này; mỗi lần sử dụng sẽ giảm một bậc của x.

Hàm mũ và hàm lượng giác

Một ví dụ thường dùng để tính tích phân từng phần là

 

Ở đây, ta thực hiện tích phân từng phần hai lần. Đầu tiên đặt

 
 

thì:

 

Giờ, để tính tích phân còn lại, chúng ta sử dụng tích phân từng phần một lần nữa, với:

 
 

thì:

 

Kết hợp lại,

 

Tích phân giống nhau xuất hiện trên cả hai vế của phương trình này. Thêm tích phân cần tính vào 2 vế, ta có

 

mà trở thành:

 

trong đó C (và C' = C/2) là các hằng số tích phân.

Phương pháp tương tự được sử dụng để tìm tích phân của hàm sec bậc ba.

Các hàm được nhân với phần tử đơn vị

Hai ví dụ nổi tiếng khác khi áp dụng tích phân từng phần cho một hàm được biểu diễn là tích của 1 và chính nó. Có thể tính tích phân này nếu biết đạo hàm của hàm đó và tích phân của đạo hàm này nhân x.

Ví dụ đầu tiên là ∫ ln(x) dx. Chúng ta viết tích phân này như:

 

Đặt:

 
 

thì:

 

trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ thứ hai là hàm tan nghịch arctan(x):

 

Viết lại

 

Đặt:

 
 

thì

 

sử dụng kết hợp giữa phương pháp quy tắc chuỗi đảođiều kiện tích phân của hàm logarit tự nhiên.

Quy tắc LIATESửa đổi

Ứng dụng trong toán học thuần tuýSửa đổi

Tích phân từng phần thường được sử dụng như một công cụ để chứng minh các định lý trong giải tích toán học. Phần này đưa ra vài ví dụ.

Dùng trong các hàm đặc biệtSửa đổi

Dùng trong giải tích điều hòaSửa đổi

Biến đổi Fourier của đạo hàm
Phân rã của biến đổi Fourier

Dùng trong lý thuyết toán tửSửa đổi

Các ứng dụng khácSửa đổi

Tích phân đệ quy từng phầnSửa đổi

Bảng tích phân từng phầnSửa đổi

Các chiều cao hơnSửa đổi

Xem thêmSửa đổi

  • Integration by parts for the Lebesgue–Stieltjes integral
  • Integration by parts for semimartingales, involving their quadratic covariation.
  • Integration by substitution
  • Legendre transformation

Ghi chúSửa đổi

  1. ^ “Integration by parts”. Encyclopedia of Mathematics.

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi