Đồ thị các hàm logarit cơ số 2, e, 10, và 1/2.

Trong toán học, logarit (tiếng Anh: logarithm) là hàm ngược của lũy thừa. Điều đó có nghĩa logarit của một số là số mũ của một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên lũy thừa để tạo ra con số đó. Trong trường hợp đơn giản logarit là đếm số lần lặp đi lặp lại của phép nhân. Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3, vì 10 mũ 3 là 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 103); phép nhân được lặp đi lặp lại ba lần. Tổng quát hơn, lũy thừa cho phép bất kỳ số thực dương nào có thể nâng lên lũy thừa với số mũ thực bất kỳ, luôn luôn tạo ra một kết quả là số dương, vì vậy logarit có thể được tính toán cho bất kỳ hai số dương thực a và b trong đó a ≠ 1.

Định nghĩaSửa đổi

Cho hai số dương a và b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

 

John Napier là người phát minh ra logarit. Thuật ngữ "logarit" do ông đề nghị xuất phát từ sự kết hợp hai từ Hy Lạp λόγoς (đọc là "logos" có nghĩa là tỉ số) và 'αρiθμ ός (đọc là "aritmos" nghĩa là số)

Tính chất của logaritSửa đổi

Cho 2 số dương a và b với   ta có các tính chất sau:

 
 
 
 

Quy tắc tính logaritSửa đổi

Logarit của một tíchSửa đổi

Cho ba số dương a, b, c với a ≠ 1, ta có:

 

Nhờ quy tắc này mà nhiều thế kỷ trước các nhà toán học và kỹ thuật có thể sử dụng bảng logarit để thực hiện phép nhân hai số thông qua phép cộng logarit, do phép cộng thì dễ tính hơn phép nhân. Nhà toán học John Napier đã phát minh ra phép tính này ở thế kỷ 17.

Để sử dụng bảng logarit, người ta thường đưa về logarit cơ số a = 10, gọi là logarit thập phân để thuận tiện cho tra bảng và tính toán. logarit tự nhiên lấy hằng số e (xấp xỉ bằng 2,718) làm cơ số, và nó được sử dụng rộng rãi trong toán thuần túy. Logarit nhị phân với cơ số bằng 2 được sử dụng trong khoa học máy tính.

Thang logarit cho phép thu hẹp các đại lượng về phạm vi nhỏ hơn. Ví dụ, độ Richter đo năng lượng của động đất cũng sử dụng thang đo logarit, savart là đơn vị logarit đo cao độ âm thanh, decibel là đơn vị logarit đo áp suất âm thanh. logarit cũng thường gặp trong các công thức khoa học và kỹ thuật, như đo độ phức tạp của thuật toán và fractal, thậm chí trong công thức đếm số nguyên tố.

Logarit của một thươngSửa đổi

Cho ba số dương a, b, c với a ≠ 1, ta có:

 

Logarit của một lũy thừaSửa đổi

Cho hai số dương a, b; với a ≠ 1. Với mọi α ta có: logabα = αlogab

Đổi cơ sốSửa đổi

Cho 3 số thực dương a, b, c với    ta có:  

Hệ quảSửa đổi

  • Cho a và b là 2 số thực dương khác 1, ta có:  
  • Cho 2 số thực dương a và b với   và số thực  ,   với   ta có  

Logarit thập phân và logarit tự nhiênSửa đổi

Logarit thập phânSửa đổi

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

Đối với logarit cơ số 10 của a, ta có thể ký hiệu log a hay lg a mà không cần ghi cơ số.

Logarit tự nhiênSửa đổi

Logarit tự nhiên là logarit của cơ số e.

Ký hiệu ln a

Hàm số logaritSửa đổi

Hàm số   với a là số thực dương khác 1 là hàm số logarit cơ số a. Đây là dạng sơ cấp của hàm số logarit.

Khỏa sát hàm số logarit sơ cấpSửa đổi

Tập xác định  

Đạo hàm  

Hàm số đồng biến trên D nếu a>1 và nghịch biến trên D nếu 0<a<1

Đồ thị hàm số logarit sơ cấpSửa đổi

 
Đồ thị hàm số  

Đồ thị hàm số   có tính chất sau:

  • Nằm bên phải trục Oy và nhận trục Oy làm tiệm cận đứng
  • Đi qua điểm A(1;0) và B(a;1)

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Giải tích 12

Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao

Liên kết ngoàiSửa đổi