Mở trình đơn chính

Trong toán học, số siêu việt là số (thực hoặc phức) nhưng lại không là nghiệm của phương trình đại số nào.

Ví dụ: số π, e và √2

Chúng ta chỉ mới biết một số rất ít các số siêu việt và việc chứng minh một số là số siêu việt là bài toán khó.

Lịch sử nghiên cứuSửa đổi

Khái niệm "Số siêu việt" lần đầu tiên được đề xuất bởi Leibniz khi ông cố chứng minh sin(x) không phải là một hàm hữu tỉ biến x. Euler có khả năng là người đã phát triển khái niệm này thành khái niệm số siêu việt như ngày nay.

Năm 1844, Liouville đã chứng minh sự tồn tại của số siêu việt. Nhưng mãi đến năm 1854 ông mới tìm ra số siêu việt đầu tiên là

 

Năm 1874, Georg Cantor đã chứng minh rằng, tập hợp các số hữu tỉ là đếm được và tập hợp các số thực là không đếm được. Và ông đã mở ra hướng đi mới cho việc xây dựng số siêu việt. 4 năm sau, ông xuất bản một công trình chứng minh rằng có rất nhiều số siêu việt giữa rất nhiều số thực. Từ đó, tính vô hạn của số siêu việt đã được khám phá.

Xác suấtSửa đổi

Cho đoạn thẳng đơn vị [0;1]. Chọn ngẫu nhiên   thì xác suất để xsố đại số ít hơn rất nhiều so với xác suất x là số siêu việt [cần dẫn nguồn]

Tính chấtSửa đổi

  1. Tập hợp số siêu việt là tập hợp vô hạn không đếm được. Chứng minh: Vì các đa thức với hệ số nguyên là đếm được [cần dẫn nguồn], và mỗi đa thức có hữu hạn nghiệm nên các số đại số cũng là đếm được. Do số các số thực là không đếm được => các số siêu việt là không đếm được.
  2. Số siêu việt là số vô tỉ: Nếu nó là số hữu tỷ dạng   thì nó là nghiệm của phương trình đại số a.x =b, do đó là số đại số. Điều ngược lại không đúng: có nhiều số vô tỷ nhưng lại không là số siêu việt, chẳng hạn căn bậc hai của 2 là số vô tỷ, cũng là số đại số vì nó là nghiệm của phương trình đại số x2 − 2 = 0
  3. Trường số siêu việt là trù mật
  4. Trường số siêu việt có lực lượng continum

Các phép toánSửa đổi

Các số siêu việt đã chứng minh thành côngSửa đổi

 
 
  • sin(a), cos(a), tan(a), csc(a), sec(a) và cot(a), Với a là số khác 0(bởi Lindemann–Weierstrass).
  • 0.12345678910111213141516...
  • ln(a) với a là số hữu tỉ khác 0 và 1

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi