Mở trình đơn chính
Công thức Euler.

Công thức Euler là một công thức toán học trong ngành giải tích phức, được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Công thức chỉ ra mối liên hệ giữa hàm số lượng giáchàm số mũ phức.

Cụ thể, với mọi số thực x, ta có:

Ở đây ecơ số logarit tự nhiên, i là đơn vị của số phức,: và: là các hàm số lượng giác.

Khai triển từ công thức trên, các hàm số: và: có thể được viết dưới dạng sau:

Trường hợp đặc biệt: khi:, ta có:, từ đó dẫn đến công thức rút gọn nổi tiếng:

Chứng minhSửa đổi

Bằng cách sử dụng chuỗi TaylorSửa đổi

Sau đây là một cách chứng minh công thức Euler bằng cách sử dụng khai triển chuỗi Taylor cũng như các tính chất cơ bản về lũy thừa của số i:

 
 
 
 
 
 
 

Các hàm ex, cos(x) và sin(x) (với giả sử xsố thực) có thể được viết như sau:

 
 
 

Do bán kính hội tụ của mỗi chuỗi nêu trên là vô hạn, chúng ta có thể thay thế x bởi iz, với z là số phức. Khi đó:

 
 
 
 

Việc sắp xếp lại các số hạng là thích hợp do mỗi chuỗi đều là chuỗi hội tụ tuyệt đối. Lấy z = x là một số thực sẽ dẫn đến đẳng thức nguyên thủy mà Euler đã khám phá ra.

Bằng cách sử dụng phép tính vi tích phânSửa đổi

Xét hàm số   xác định bởi:  

Ta sẽ chứng minh rằng   khác 0 với mọi x

Thật vậy; giả sử   thì  ; do đó  ; vậy   (vô lý)

Do đó mẫu của:  khác 0

Bây giờ tính đạo hàm của:  theo quy tắc chia; dễ thấy  

Vì vậy:  phải là hàm hằng; có nghĩa là với mọi:  thì

 

Bây giờ cho:  ta thấy: ; do đó: 

vậy  

Bằng cách sử dụng phương trình vi phân thườngSửa đổi

Xét hàm số   xác định bởi

 

Chú ý rằng   là hằng số, đạo hàm bậc nhất và bậc hai của   sẽ là

 
 

do   theo định nghĩa. Từ đó chúng ta xây dựng phương trình vi phân thường tuyến tính có bậc 2 như sau:

 

hay

 

Đây là một phương trình vi phân thường bậc 2, do đó nó sẽ có hai nghiệm độc lập tuyến tính là:

 
 

Cả    đều là các hàm số thực có đạo hàm bậc hai đồng nhất với giá trị âm của chính nó. Ngoài ra, bất kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm của một phương trình vi phân thuần nhất cũng sẽ lại là một nghiệm của nó. Do vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã nêu là

   
 

với mọi hằng số    Tuy nhiên, không phải mọi giá trị của các hằng số này đều thỏa mãn điều kiện ban đầu của hàm  :

 
 .

Các điều kiện ban đầu giống nhau này (áp dụng cho nghiệm tổng quát) sẽ dẫn đến kết quả sau

 
 

Từ đó cho

 
 

và sau cùng là

 

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi