Số đại số

Trong toán học, một số đại số là một nghiệm (thực hoặc phức) của một phương trình đại số.^[1] Nói cách khác, một số đại số là một nghiệm của một đa thức với hệ số nguyên (hay tương đương- hệ số hữu tỷ). Với quan niệm rộng hơn, số đại số có thể không chỉ là số phức, mà cũng có thể là các số đại số trên các trường khác, chẳng hạn trường các số p-adic (p-adic number).

Các số đại số

Tất cả các số đại số lập thành trường các số đại số.

Ví dụ

Tất cả các số hữu tỷ là số đại số. Một số vô tỷ có thể là số đại số khoặc không. Chẳng hạn, ${\sqrt {2}}$ và ${\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}$ là các số đại số vì chúng là nghiệm của các phương trình

x² − 2 = 0 và 8x³ − 3 = 0. Đơn vị ảo i là số đại số vì nó là nghiệm của phương trình x² + 1 = 0.

Các tính chất

Các số không phải là các số đại số được gọi là các số siêu việt. Hầu hết các số thực và số phức là số siêu việt vì tập hợp các số đại số là đếm được trong khi tập các số phức và tập hợp số thực, do đó chính tập các số siêu việt là tập hợp vô hạn không đếm được. Các ví dụ về số siêu việt là các số π và e. Các ví dụ khác được đưa ra bởi định lý Gelfond-Schneider.^[2]

Tập hợp tất cả các số đại số là đếm được và do đó là tập hợp xác định.^{[cần dẫn nguồn]}
Nếu một số đại số thỏa mãn một phương trình đa thức bậc n và không thỏa mãn một phương trình nào khác bậc thấp hơn n thì nó được gọi là số đại số bậc n. Một số đại số bậc 1 là một số hữu tỷ.

Khái niệm số đại số có thể tổng quát hóa thành các mở rộng trường; các phần tử trong một mở rộng trường thỏa mãn một phương trình đa thức được gọi là các phần tử đại số.

Trường các số đại số

Các số đại số được tô màu theo độ (xanh dương = 4, lục lam = 3, đỏ = 2, lục = 1). Vòng tròn đơn vị có màu đen.

Tổng, hiệu, tích, thương của các số đại số lại là số đại số. Do đó chúng tạo thành một trường. Một số người ký hiệu trường này bằng $\mathbb {A}$ hoặc ${\overline {\mathbb {Q} }}$ . Có thể thấy rằng mọi nghiệm của đa thức với hệ số là các số đại số cũng là số đại số. Do đó ta nói rằng trường các số đại số là trường đóng đại số. Như vậy nó là trường đóng đại số nhỏ nhất chứa trường số hữu tỷ, và được gọi là bao đóng đại số của các số hữu tỷ.^[3]

Tất cả các kết quả trên được chứng minh trong cơ sở đại số của mở rộng trường.

Các số được xác định nhờ căn thức

Tất cả các số có thể tính toán từ các số nguyên qua một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, căn bậc n (trong đó n nguyên dương) đều là các số đại số. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng: có các số đại số không thể tính như vậy. Đó là các số là nghiệm của các phương trình đại số bậc ≥ 5. Đó là kết quả của lý thuyết Galois (xem phương trình bậc năm và định lý Abel-Ruffini). Một ví dụ cho số loại này là nghiệm thực duy nhất của phương trình x⁵ − x − 1 = 0.

Số đại số nguyên

Một số đại số thỏa mãn phương trình đa thức bậc n với hệ số cao nhất a_n = 1 và tất cả các hệ số còn lại a_i thuộc tập số nguyên Z, được gọi là số đại số nguyên. Ví dụ $3{\sqrt {2}}+5$ và 6i - 2.

Tổng, hiệu và tích các số đại số nguyên lại là số đại số nguyên, nghĩa là các số đại số nguyên tạo thành một vành. Tên gọi số đại số nguyên là do chỉ có các số hữu tỷ là đại số nguyên sẽ là số nguyên và vì các số đại số nguyên trong trường các số đại số có nhiều tính chất tương tự các số nguyên. Nếu K là một trường số, vành các số nguyên của nó là vành con của các số đại số nguyên trong K, và thường được ký hiệu là O_K.

Xem thêm

Tham khảo

^ Hardy and Wright 1972:160 / 2008:205
^ Niven 1956, Theorem 7.5.
^ Niven 1956, p. 92.

Liên kết ngoài

Algebraic number tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-004763-5, MR 1129886
Hardy, G. H. and Wright, E. M. 1978, 2000 (with general index) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 , Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, MR 1070716
Niven, Ivan 1956. Irrational Numbers, Carus Mathematical Monograph no. 11, Mathematical Association of America.
Ore, Øystein 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)

[1] Hardy and Wright 1972:160 / 2008:205

[2] Niven 1956, Theorem 7.5.

[3] Niven 1956, p. 92.

[1]

[2]

[3]