Đẳng thức lượng giác

bài viết danh sách Wikimedia

Trong toán học, các đẳng thức lượng giác là các phương trình chứa các hàm lượng giác, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số.

Các đẳng thức này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác. Ví dụ trong việc tính tích phân với các hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính.

Định nghĩaSửa đổi

 

Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiếnSửa đổi

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Tuần hoàn (k nguyên) Đối nhau: Phụ nhau Bù nhau Hơn kém nhau   Hơn kém nhau  
           
           
           
           

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:  

với  

Đẳng thức PytagoSửa đổi

Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago.

 
 
 

Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).

Công thức cộng trừ lượng giácSửa đổi

Xem thêm Định lý Ptolemy

Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.

 
 
 
 
 
 

với

 

 

Công thức góc bộiSửa đổi

Bội haiSửa đổi

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

 
 
 
 

Công thức góc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

 

Bội baSửa đổi

Cơ bảnSửa đổi

Ví dụ của trường hợp n = 3:

 
 

Nâng caoSửa đổi

 
 
 

Công thức hạ bậcSửa đổi

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được:

 
 
 
 
 
 
 
 

Công thức góc chia đôiSửa đổi

Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:

 
 

Dẫn đến:

 

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

 
 

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

 
 

Suy ra:

 

Nếu

 

thì:

        and       and    

Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành hàm của t. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dàng.

Biến tích thành tổngSửa đổi

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.

 
 
 

Biến tổng thành tíchSửa đổi

Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (xy) / 2, suy ra:

 
 
 
 

Hàm lượng giác ngượcSửa đổi

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dạng số phứcSửa đổi

 
 

với  

Tích vô hạnSửa đổi

Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:

 
 
 
 
 

Đẳng thức sốSửa đổi

Cơ bảnSửa đổi

Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:

 

Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:

 

Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:

 .

Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:

 
 

Một cách tính pi có thể sựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy:

 

hay dùng công thức Euler:

 

Một số đẳng thức khác:

 
 
 

Dùng tỷ lệ vàng φ:

 
 

- -

Nâng caoSửa đổi

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

-

  •  

Giải tíchSửa đổi

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

 
 
 

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:

 
 
 
 
 
 
 

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giácdanh sách tích phân với hàm lượng giác ngược.

Hàm lượng giác nghịch đảoSửa đổi

Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm nghịch đảo, cần giới hạn miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác nghịch đảo:

Giới hạn miền Định nghĩa
-π/2 < y < π/2 y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y)
0 < y < π y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2 y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2 y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)

Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1 hay cos−1 thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

 
 
 
 
 
 

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

 
 
 
 
 
 

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến phức:

 
 
 

Một số đẳng thứcSửa đổi

Xem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng giác, Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

Tham khảoSửa đổi