Mở trình đơn chính

Trong toán học, định lý khai triển nhị thức (ngắn gọn là định lý nhị thức) là một định lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng. Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thức bậc thành một đa thức số hạng:

với:

Gọi là số tổ hợp chập k của n phần tử.

Định lý này đã được độc lập chứng minh bởi hai người đó là:

Công thức đã giới thiệu còn mang tên là Nhị thức Newton.

Chứng minh định lýSửa đổi

Định lý này được chứng minh bằng quy nạp.

Ta có biểu thức   (1) với mọi số tự nhiên n.

Đầu tiên tại P(1) đúng.

giả sử P(n) đúng, ta phải chứng minh   

áp dụng hằng đẳng thức Pascal ta có:

 

Do đó công thức (1) đúng.

giờ đặt   và do đó  

Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụSửa đổi

Các trường hợp đặc biệt của định lý này nằm trong các Hằng đẳng thức đáng nhớ

Ví dụ: điển hình nhất là nhị thức là công thức bình phương của  :

 

Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn của   tương ứng với các hàng sau của tam giác:

 

Chú ý rằng:

  1. Lũy thừa của   giảm dần cho tới khi đạt đến 0 ( ), giá trị bắt đầu là   (n trong  .)
  2. Lũy thừa của   tăng lên bắt đầu từ 0 ( ) cho tới khi đạt đến   (  trong  .)
  3. Hàng nhị thức của tam giác Pascal sẽ là các hệ số của nhị thức mở rộng (chú ý rằng đỉnh là hàng 0)
  4. Với mỗi hàng, tích số (tổng của các hệ số) bằng  .
  5. Với mỗi hàng, nhóm tích số bằng  .

Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ:

 

Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi sử dụng phép nghịch đảo số hạng thứ hai.

 

Tổng quátSửa đổi

Trong trường hợp tổng quát trên trường số phức,

Nếu   là một số thực  là một số phứcmodule nhỏ hơn 1 thì:
 

Trong đó:

 

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  • H Anton, Calculus with Analytic Geometry (NewYork, 1980)
Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê