Trong lý thuyết đồ thị, một đồ thị hai phía đầy đủ (tiếng Anh: Complete bipartite graph hoặc biclique) là một dạng đồ thị hai phía đặc biệt, trong đó mỗi đỉnh của tập thứ nhất nối với mọi đỉnh thuộc tập thứ hai và ngược lại.[1]

Định nghĩaSửa đổi

Cho   là một đồ thị vô hướng lưỡng phân với hai tập    phân hoạch   (    Ø          = Ø). Khi đó   được gọi là lưỡng phân đầy đủ nếu:

     * Với mọi cặp đỉnh(i,j) mà i     và j     thì có đúng một cạnh của G nối i và j.
  • Mối tương quan giữa đồ thị đầy đủ và đồ thị hai phía đầy đủ:[2]
     * Đồ thị đầy đủ   có: n đỉnh,   cạnh
     * Đồ thị hai phía đầy đủ   có: m + n đỉnh, m.n cạnh

Ví dụSửa đổi

  • Với mọi k,   ta có đồ thị hình sao.[3]
  • Hay với đồ thị   ta có đồ thị hình vuốt, hoặc một cây
  •   với m khác n.
  •   với m = n.

Tính chấtSửa đổi

  • Định lý Kuratowski [4][5] liên quan giữa tính phẳng của đồ thị và  : Điều kiện cần và đủ một đồ thị liên thông G có tính phẳng là G không chứa bất kỳ đồ thị con nào đồng phôi với   hay  . Đồ thị   là đồ thị không phẳng có ít cạnh nhất.
  • Một đồ thị hai phía đầy đủ   có số phủ đỉnh (Vertex covering number) bằng   và số phủ cạnh (Edge covering number) bằng  
  • Đồ thị hai phía đầy đủ   là một Cayley Graph.[6]
  • Một đồ thị đủ   có thể được tách thành 4 đồ thị con, mỗi đồ thị con là một đồ thị hai phía đầy đủ,  ,  ,  ,...  , sao cho  [7]
  • Đồ thị hai phía đầy đủ   là k-choosable khi và chỉ khi   [8]
  • Một đồ thị hai phía đầy đủ   có cặp ghép hoàn hảo (Perfect matching) kích thước  
  • Một đồ thị hai phía đầy đủ   hay   là một đồ thị Turán.[9]
  • Một đồ thị hai phía đầy đủ  mn−1 nm−1 cây bao trùm
  • Ma trận Laplace của đồ thị hai phía đầy đủ   có các vectơ n+m, n, m, 0; với các vectơ tương thích 1, m-1, n-1, 1.
  • Một đồ thị hai phía đầy đủ   có một cách tô màu cạnh (Edge coloring) đúng đắn, n_Edge = n_color.[10]
  • Sắc số của đồ thị   là 2 [11].
  • Số màu cần thiết để tô màu các cạnh của   là max{m.n} để không có 2 cạnh nào cùng màu mà lại có chung đỉnh.
  • Đường kính của đồ thị hai phía đầy đủ:   là 1, còn tất cả các   khác đều có đường kính là 2.[12]

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Bondy, John Adrian; Murty, U. S. R. (1976), Graph Theory with Applications, North-Holland, ISBN 0-444-19451-7 , page 5.
  2. ^ Aigner, M.; Ziegler, G.M. (2010), Proofs from the Book, Springer, ISBN 9783642010378 , page 66.
  3. ^ Kubale, M. (2004), Graph colorings, Amer Mathematical Society, ISBN 9780821834589 , page 3.
  4. ^ Tutte, W. T. (1963), “How to draw a graph”, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series 13: 743–767, MR 0158387 .
  5. ^ Kuratowski, Kazimierz (1930), “Sur le problème des courbes gauches en topologie” (PDF), Fund. Math. (bằng tiếng Pháp) 15: 271–283 .
  6. ^ Knauer, Ulrich. Algebraic Graph Theory: Morphisms, Monoids and Matrices. Vol. 41. De Gruyter, 2011. Page 270
  7. ^ Aigner, M.; Ziegler, G.M. (2010), Proofs from the Book, Springer, ISBN 9783642010378 , page 65.
  8. ^ Kubale, M. (2004), Graph colorings, Amer Mathematical Society, ISBN 9780821834589 , page 155.
  9. ^ Reinhard Diestel. Graph Theory, Electronic Edition 2005. © Springer - Verlag Heidelberg, New York 1997, 2000, 2005.[1]
  10. ^ Alon, Noga (2003), “A simple algorithm for edge-coloring bipartite multigraphs”, Information Processing Letters 85 (6): 301–302, MR 1956451, doi:10.1016/S0020-0190(02)00446-5 
  11. ^ Jimmy Salvatore. (2007), Bipartite Graphs and Problem Solving, ngày 8 tháng 8 năm 2007, University of Chicago  [2]
  12. ^ Fogiel, M. (1984), The Finite and Discrete Mathematics Problem Solver, Research and Education Association, ISBN 9780878915590 , page 269, 270.
Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê