Giả thuyết abc

Giả thuyết abc là một giả thuyết toán học, được phát biểu ban đầu năm 1985 bởi Joseph Oesterlé và được tổng quát hóa sau đó bởi David Masser. Giả định này có thể liên quan đến việc nghiên cứu về các phương trình Diophantine chẳng hạn như là về số nghiệm hữu hạn của định lý Fermat lớn, một định lý nổi tiếng của Pierre de Fermat.

Phát biểu

Để hiểu giả thuyết này trước tiên chúng ta cùng tìm hiểu về một khái niệm gọi là căn của một số nguyên (tạm dịch từ radical of an integer)

Trong lý thuyết số, căn của một số nguyên dương n được định nghĩa là tích của các số nguyên tố trong phân tích thừa số nguyên tố của n với điều kiện mỗi số nguyên tố trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n chỉ xuất hiện duy nhất một lần trong tích này, ký hiệu là rad(n).

$\displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p$

Giải thích khái niệm trên như sau, theo định lý cơ bản của số học mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố. Mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:

$n={p_{1}}^{\alpha _{1}}{p_{2}}^{\alpha _{2}}{\dots }{p_{k}}^{\alpha _{k}}$

trong đó ${p_{1}},{p_{2}},{\dots },{p_{k}}$ là các số nguyên tố và $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{k}$ là các số tự nhiên dương. Tuy nhiên do tính giao hoán của phép nhân các số tự nhiên, tính duy nhất bỏ qua các sai khác về thứ tự các thừa số. Vế phải của đẳng thức này được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.

Như vậy:$rad(n)=p_{1}p_{2}...p_{k}$

Ví dụ:

$6936=2^{3}.3.17^{2},\,\!$

thì: $rad(6936)=rad(2^{3}.3.17^{2})=rad(2.3.17)=2.3.17,\,\!$

$1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}\,\!$

thì: $rad(1200)=rad(2^{4}.3.5^{2})=rad(2.3.5)=2.3.5\,\!$

Giả thuyết ABC. cho ε là một số thực dương tùy ý, khi đó tồn tại một số hữu hạn ba số (a, b, c) nguyên dương nguyên tố đôi một cùng nhau mà a + b = c, sao cho:

$c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.$

Phát biểu trên tương đương với phát biểu sau đây

Giả thuyết ABC II. Với ε là số thực dương tùy ý, tồn tại hằng số K_ε sao cho với tất cả các bộ ba số nguyên dương nguyên tố đôi một cùng nhau (a, b, c), với a + b = c:

$c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.$

Một phát biểu thứ ba tương đương như sau, ta gọi đặc tính q(a, b, c) của ba số (a, b, c), định nghĩa bằng biểu thức

$q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}.$

Ví dụ,

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

Giả thuyết ABC III. cho ε là một số thực dương tùy ý, tồn tại một số lượng hữu hạn (a, b, c) nguyên dương nguyên tố đôi một cùng nhau với a + b = c sao cho đặc tính của bộ ba q(a, b, c) > 1 + ε.

Các hệ quả của giả thuyết ABC

Định lí lớn Fermat đã được chứng minh bởi các nhà khoa học là 1 hệ quả của giả thuyết ABC

Một số tính toán máy tính

Sự phân bố bộ ba a, b, c với q > 1

q c	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 102	6	4	4	2	0	0
c < 103	31	17	14	8	3	1
c < 104	120	74	50	22	8	3
c < 105	418	240	152	51	13	6
c < 106	1,268	667	379	102	29	11
c < 107	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 108	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 109	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 1010	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 1011	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 1012	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 1013	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 1014	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 1015	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 1016	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 1017	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 1018	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

Cho đến năm 2014, ABC@Home đã tìm thấy 23.8 triệu bộ ba.

Thứ tự	q	a	b	c	Phát hiện bởi
1	1.6299	2	310·109	235	Eric Reyssat
2	1.6260	112	32·56·73	221·23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·292·318	28·322·54	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	511·132	28·38·173	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·37	54·7	Benne de Weger

Chú ý: đặc tính q(a, b, c) của bộ ba (a, b, c) được định nghĩa như trên phần giả thuyết abc III

Tham khảo gốc

• C. L. Stewart and Kunrui Yu, "On the abc Conjecture", Math. Ann., 291 (1991), 225-30.

Xem thêm

• Ước số chung lớn nhất
• Định lý lớn Fermat
• Giả thuyết Beal