Nhóm đồng luân của các hình cầu

Trong toán học, và cụ thể hơn là trong tô pô đại số, các nhóm đồng luân của hình cầu là các bất biến mô tả, một cách đại số, những cách mà các hình cầu chiều và chiều có thể quấn quanh nhau. Khái niệm này, vốn ban đầu được xác định cho các mặt cầu 1 chiều (vòng tròn) và 2 chiều (hình cầu), được khái quát cho các mặt cầu chiều.

Quấn một hình cầu hai chiều quanh một hình cầu khác.

Định nghĩaSửa đổi

Nhóm đồng luân bậc   của hình cầu   chiều  , là tập hợp, ký hiệu  , các lớp đồng luân của các hàm liên tục giữa hai hình cầu sao cho một điểm cố định của hình cầu   được gửi tới một điểm cố định của hình cầu   (gọi là hai điểm cơ sở).

Tập hợp   có thể được trang bị một cấu trúc nhóm abel.

Nếu  , nhóm này là nhóm tầm thường:  .

Nếu  , ta có   (có thể chứng minh bằng định lý Hurewicz).

1 chiều: các nhóm đồng luân của đường trònSửa đổi

Ta có:

  •  ;
  •  với .

2 chiều và 3 chiềuSửa đổi

Các hình cầu có ít nhất hai chiều là đơn liên, nói riêng:

 

Với mọi   lớn hơn hoặc bằng 3, ta có:  , nói riêng:

 

Với mọi  , ta có:  , nói riêng:

 ,
 .
 
Biểu diễn ba chiều của một phần thành thớ Hopf

Thành thớ Hopf

 

cho ta một dãy khớp đồng luân,

 

Từ   và với  ,   ta có một đẳng cấu

  với  ,

nói riêng

 

Với các nhóm đồng luân bậc cao hơn, nhiều kỹ thuật khác cho ta các kết quả sau

  •  
  •  
  •  
Các nhóm đồng luân của   
  3 4 5 6 7 số 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
  Z Z2 Z12 Z2 Z3 Z15 Z2 Z22 Z12×Z2 Z84×Z22 Z22 Z6 Z30 Z2×Z6 Z22×Z12 Z22×Z132

Chiều cao hơnSửa đổi

BảngSửa đổi

Tính toán các nhóm đồng luân của các hình cầu nói chung là phức tạp. Bảng sau tóm gọn lại kết quả thu được.

π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12 π13 π14 π15 π16
S1 Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2 0 Z Z Z2 Z2 Z12 Z2 Z2 Z3 Z15 Z2 Z22 Z12×Z2 Z84×Z22 Z22 Z6
S3 0 0 Z Z2 Z2
S4 0 0 0 Z Z2 Z2 Z×Z12 Z22 Z22 Z24×Z3 Z15 Z2 Z23 Z120×Z12×Z2 Z84×Z25 Z26
S5 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 Z2 Z2 Z2 Z30 Z2 Z23 Z72×Z2 Z504×Z22
S6 0 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 0 Z Z2 Z60 Z24×Z2 Z23 Z72×Z2
S7 0 0 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z120 Z23 Z24
S8 0 0 0 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z×Z120 Z24
S9 0 0 0 0 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240

Ổn định khi số chiều lớnSửa đổi

Bảng đồng luân của   dễ nhìn hơn:

Sn πn πn+1 πn+2 πn+3 πn+4 πn+5 πn+6 πn+7 πn+8 πn+9 πn+10 πn+11 πn+12 πn+13 πn+14 πn+15
S1 Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2 Z Z Z2 Z2 Z12 Z2 Z2 Z3 Z15 Z2 Z22 Z12×Z2 Z84×Z22 Z22 Z6 Z30
S3 Z Z2 Z2 Z12 Z2 Z2 Z3 Z15 Z2 Z22 Z12×Z2 Z84×Z22 Z22 Z6 Z30 Z30
S4 Z Z2 Z2 Z×Z12 Z22 Z22 Z24×Z3 Z15 Z2 Z23 Z120×Z12×Z2 Z84×Z25 Z26 Z24×Z6×Z2 Z2520×Z6×Z2 Z30
S5 Z Z2 Z2 Z24 Z2 Z2 Z2 Z30 Z2 Z23 Z72×Z2 Z504×Z22 Z23 Z6×Z2 Z6×Z2 Z30×Z2
S6 Z Z2 Z2 Z24 0 Z Z2 Z60 Z24×Z2 Z23 Z72×Z2 Z504×Z4 Z240 Z6 Z12×Z2 Z60×Z6
S7 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z120 Z23 Z24 Z24×Z2 Z504×Z2 0 Z6 Z24×Z4 Z120×Z23
S8 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z×Z120 Z24 Z25 Z242×Z2 Z504×Z2 0 Z6×Z2 Z240×Z24×Z4 Z120×Z25
S9 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z23 Z24 Z24×Z2 Z504×Z2 0 Z6 Z16×Z4 Z240×Z23
S10 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z×Z23 Z12×Z2 Z504 Z12 Z6 Z16×Z2 Z240×Z22
S11 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6×Z2 Z504 Z22 Z6×Z2 Z16×Z2 Z240×Z2
S12 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z×Z504 Z2 Z6×Z2 Z48×Z4×Z2 Z240×Z2
S13 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z6 Z16×Z2 Z480×Z2
S14 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z×Z3 Z8×Z2 Z480×Z2
S15 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z4×Z2 Z480×Z2
S16 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z22 Z×Z480×Z2
S17 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z22 Z480×Z2
S18 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z22 Z480×Z2
S19 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z22 Z480×Z2

Với số chiều đủ lớn, ta có

  •   (cột đầu tiên màu vàng của bảng trên)
  •   (cột thứ hai - màu tím - của bảng trên)
  •   (cột thứ ba - màu lam - của bảng trên)

Hóa ra là   không phụ thuộc vào   với   đủ lớn. Hiện tượng này được gọi là sự ổn định. Nó xuất phát từ định lý suspension Freudenthal sau đây:

  • Các đồng cấu suspension   là một đẳng cấu với  
  • và là một toàn cấu (theo nghĩa một đồng cấu toàn ánh) với  .

Danh sách các nhóm đồng luân ổn địnhSửa đổi

Các nhóm ổn định đầu tiên   là như sau:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Các nhóm đồng luân ổn định là hữu hạn ngoại trừ  .

Nhóm đồng luân ổn định   với   nhỏ hơn 23
  0 1 2 3 4 5 6 7 số 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
  Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z22 Z480Z2 Z22 Z24 Z8Z2 Z264Z2 Z24 Z22 Z22

Từ  ,   trở nên phức tạp, ví dụ:

 
 
Nhóm đồng luân ổn định   với   nhỏ hơn 60
  0 1 2 3 4 5 6 7
  Z Z2 Z2 Z24=Z8Z3 0 0 Z2 Z240

=Z16Z3Z5
  8 9 10 11 12 13 14 15
  Z22 Z23 Z6=Z2Z3 Z504

=Z8Z9Z7
0 Z3 Z22 Z480Z2

=Z32Z2Z3Z5
  16 17 18 19 20 21 22 23
  Z22 Z24 Z8Z2 Z264Z2

=Z8Z2Z3Z11
Z24 Z22 Z22 Z16Z8Z2Z9Z3

Z5Z7Z13
  24 25 26 27 28 29 30 31
  Z22 Z22 Z22Z3 Z24=Z8Z3 Z2 Z3 Z6=Z2Z3

Z64Z22Z3Z5Z17

  32 33 34 35 36 37 38 39
  Z24 Z25 Z4Z23 Z8Z22Z27

Z7Z19
Z6=Z2Z3 Z22Z3 Z2Z60=

Z2Z4Z3Z5

Z16Z25Z32Z25Z11

  40 41 42 43 44 45 46 47
  Z25Z4Z3 Z25 Z8Z22Z3 Z552

=Z8Z3Z23
Z8 Z16Z23

Z9Z5
Z24Z3

Z32Z4Z23Z9Z3Z5Z7Z13

  48 49 50 51 52 53 54 55
  Z24Z4 Z22Z3 Z3Z23 Z8Z4Z22Z3 Z23Z3 Z24 Z4Z2 Z16Z32Z5Z29
  56 57 58 59 60 61 62 63
  Z22 Z24 Z22 Z8Z22Z9

Z7Z11Z31
Z4

Các nhóm đồng luân không ổn địnhSửa đổi

Một số nhóm đồng luân không ổn định:

  • Với chiều 2 và 3 ( ):
    •  
    •  
    •  
  • Với chiều 4:  

Nhóm đồng luân vô hạnSửa đổi

Các nhóm đồng luân ổn định   là hữu hạn ngoại trừ   (( ).

Các nhóm đồng luân không ổn định là hữu hạn ngoại trừ các nhóm   (với p > 0). Những nhóm này  ,  ,  ,...) đẳng cấu với tổng trực tiếp của   và một nhóm hữu hạn.

Tham khảoSửa đổi

  • Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, Géométrie contemporaine - Méthodes et applications, tomes 2 et 3
  • Claude Godbillon, Éléments de topologie algébrique
  • Fabien Morel, «Groupes d'homotopie de sphères algébriques et formes quadratiques», trong Leçons de mathématiques d'aujourd'hui, vol. 3, Cassini, 2007