Phép chiếu (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tínhgiải tích hàm, phép chiếu là một biến đổi tuyến tính từ một không gian vectơ vào chính nó sao cho . Tức là khi nào được thực hiện hai lần với một giá trị bất kỳ, nó cho kết quả tương tự khi nó được áp dụng chỉ một lần (tính lũy đẳng). Việc thực hiện lại phép chiếu không làm thay đổi ảnh của nó.[1] Mặc dù là khái niệm trừu tượng, định nghĩa "phép chiếu" này hình thức hóa và tổng quát hóa ý tưởng phép chiếu đồ họa. Ta có thể xét tác động của một phép chiếu lên một đối tượng hình học bằng cách xét các tác động của phép chiếu lên từng điểm của đối tượng.

Phép biến đổi P là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng m.

Định nghĩaSửa đổi

Phép chiếu trên một không gian vectơ   là một toán tử tuyến tính tự đồng cấu   sao cho  .

Khi   được trang bị tích trong và là đầy đủ (chẳng hạn khi  không gian Hilbert), khái niệm trực giao có thể được sử dụng. Một phép chiếu   trên một không gian Hilbert   được gọi là phép chiếu trực giao nếu nó thỏa mãn điều kiện tự liên hợp   với mọi  . Phép chiếu trên một không gian Hilbert không phải là phép chiếu trực giao được gọi là phép chiếu xiên.

Ma trận chiếuSửa đổi

  • Trong trường hợp hữu hạn chiều, một ma trận vuông   được gọi là ma trận chiếu nếu nó bằng bình phương của nó, tức là nếu  .[2]:p. 38
  • Một ma trận vuông   được gọi là ma trận chiếu trực giao nếu   đối với một ma trận thực, và tương ứng   đối với một ma trận phức, trong đó   ký hiệu cho chuyển vị của    ký hiệu cho chuyển vị Hermite của  .[2]:p. 223
  • Ma trận chiếu không là ma trận chiếu trực giao được gọi là ma trận chiếu xiên.

Các giá trị riêng của một ma trận chiếu phải bằng 0 hoặc 1.

Ví dụSửa đổi

Phép chiếu trực giaoSửa đổi

Ví dụ, hàm ánh xạ một điểm   trong không gian 3 chiều   vào điểm   là một phép chiếu trực giao lên mặt phẳng xy. Hàm này được biểu diễn bởi ma trận sau

 

Tác động của ma trận này lên một vectơ bất kỳ là

 

Để xem liệu   có là một phép chiếu, tức là  , ta tính

 .

Ta còn có thể thấy rằng   (ma trận đối xứng), chứng tỏ phép chiếu này là phép chiếu trực giao.

Phép chiếu xiênSửa đổi

Một ví dụ đơn giản cho phép chiếu xiên (không trực giao) là

 

Bằng phép nhân ma trận, ta thấy rằng

 

chứng tỏ rằng   chắc chắn là một phép chiếu.

Phép chiếu   là trực giao khi và chỉ khi   bởi vì chỉ khi đó mới có  .

Tính chất và phân loạiSửa đổi

 
Biến đổi T là phép chiếu theo phương k lên m. Miền giá trị của Tm và hạt nhân là k.

Tính lũy đẳngSửa đổi

Theo định nghĩa, phép chiếu  lũy đẳng (tức là  ).

Miền giá trị và hạt nhânSửa đổi

Cho   là một không gian vectơ hữu hạn chiều và   là một phép chiếu trên  . Giả sử rằng các không gian con    tương ứng là miền giá trị (ảnh)hạt nhân của  . Vậy thì   có các tính chất sau:

  1.   là toán tử đơn vị   trên  
     .
  2. Ta có một tổng trực tiếp  . Mọi vectơ   có thể được phân tích duy nhất dưới dạng   với   , trong đó  .

Miền giá trị và hạt nhân của một phép chiếu là phần bù của nhau, và cũng vậy với toán tử   . Toán tử   cũng là một phép chiếu, với miền giá trị và hạt nhân của   tương ứng trở thành hạt nhân và miền giá trị của   và ngược lại. Ta nói   là phép chiếu theo phương   lên   (hạt nhân/miền giá trị) và   là phép chiếu theo phương   lên  .

PhổSửa đổi

Trong các không gian vectơ hữu hạn chiều, phổ của một phép chiếu, có giá trị thuộc  

 

Giá trị riêng của một phép chiếu chỉ có thể là 0 hoặc 1. Từ điều này suy ra rằng một phép chiếu trực giao   luôn là một ma trận nửa xác định dương. Tổng quát, các không gian con riêng (tương ứng) là hạt nhân và miền giá trị của phép chiếu. Sự phân tích không gian vectơ thành tổng trực tiếp là không duy nhất. Vì thế, cho một không gian con  , có thể có nhiều phép chiếu có miền giá trị (hay hạt nhân) là  .

Nếu phép chiếu là không tầm thường thì nó có đa thức cực tiểu   có thể phân tích được thành các nghiệm phân biệt, vì vậy   chéo hóa được.

Tích các phép chiếuSửa đổi

Tích các phép chiếu nói chung không phải là phép chiếu ngay cả khi chúng trực giao. Nếu hai phép chiếu giao hoán được thì tích của chúng là một phép chiếu, nhưng điều ngược lại không đúng: tích của hai phép chiếu không giao hoán vẫn có thể là một phép chiếu.

Nếu hai phép chiếu là trực giao và giao hoán đựoc thì tích của chúng là phép chiếu trực giao. Nếu tích của hai phép chiếu trực giao cũng là một phép chiếu trực giao thì hai phép chiếu trực giao là giao hoán được (bởi vì tổng quát: hai tự đồng cấu tự liên hợp giao hoán được khi và chỉ khi tích của chúng tự liên hợp).

Phép chiếu trực giaoSửa đổi

Khi không gian vectơ   được trang bị một tích trong và là đầy đủ (là một không gian Hilbert) thì có thể sử dụng khái niệm trực giao. Phép chiếu trực giao là một phép chiếu sao cho miền giá trị   và hạt nhân   là các không gian con trực giao. Vì vậy, với mọi    thuộc  , ta có  . Một cách tương đương:

 .

Một phép chiếu là trực giao khi và chỉ khi nó là tự liên hợp. Để chứng tỏ, sử dụng tính chất tự liên hợp và tính chất lũy đẳng của  , với bất kỳ    trong   ta có  ,  , và

 

trong đó  tích trong được trang bị cho  . Vì thế,    là các phép chiếu trực giao.[3] Điều ngược lại, tức là nếu   là trực giao thì nó là tự liên hợp, suy ra từ

 

với mọi    trong  ; vì vậy  .

Tính chất và các trường hợp riêngSửa đổi

Một phép chiếu trực giao là một toán tử bị chặn. Điều này là do với mọi vectơ   trong không gian vectơ ta có bởi bất đẳng thức Cauchy–Schwarz:

 

Vì vậy  .

Đối với không gian vectơ hữu hạn chiều thực hoặc phức, tích trong tiêu chuẩn có thể được thay thế cho  .

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ Meyer, pp 386+387
  2. ^ a ă Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.
  3. ^ Meyer, p. 433

Tham khảoSửa đổi

  • Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (ấn bản 1), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
  • Dunford, N.; Schwartz, J. T. (1958). Linear Operators, Part I: General Theory. Interscience.
  • Meyer, Carl D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-454-8.

Liên kết ngoàiSửa đổi