Mở trình đơn chính

Định nghĩaSửa đổi

Cho   là ma trận vuông cấp   trên trường số  . Số  được gọi là giá trị riêng (gọi tắt là trị riêng – ký hiệu GTR) của ma trận A, nếu tồn tại một vectơ  sao cho:  

Khi đó vectơ   được gọi là vectơ riêng (VTR) của ma trận   ứng với giá trị riêng  

Tính chấtSửa đổi

  1. Giá trị riêng   chính là nghiệm của phương trình   (1) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.
  2. Một giá trị riêng có thể có nhiều vectơ riêng.
  3. Mỗi vectơ riêng chỉ ứng với một giá trị riêng duy nhất.
  4. Ma trận   là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó (trong trường hợp này đa thức đặc trưng được coi là đa thức ma trận, nghĩa là biến số của nó không phải là biến số thực mà là biến ma trận)
  5. Nếu  là giá trị riêng của ma trận   thì   không khả nghịch. Ngược lại, nếu mọi GTR của   đều khác không thì   khả nghịch.
  6. Nếu   là GTR của ma trận   thì   là giá trị riêng của ma trận  

Chứng minhSửa đổi

1. Số   là trị riêng của   khi và chỉ khi  . Suy ra: hệ phương trình tuyến tính thuần nhất   có nghiệm .

2. Điều này là hiển nhiên vì dựa vào định nghĩa và tính chất 1 thì hệ phương trình   có vô số nghiệm.

3. Giả sử vectơ riêng   ứng với 2 trị riêng  

Ta cần chứng minh:  . Thật vậy, ta có:

 

Mà:  . Do đó:  

4. Ta có:

 

5. Do   là GTR của ma trận  . Do đó:

 

Chứng tỏ A suy biến (không khả nghịch).

6. Ta có  . Do đó

 .

Từ đó, bằng cách chứng minh quy nạp, bạn sẽ có kết quả.

Nhận xét: từ kết quả trên, ta nhận thấy có một cách để tính nhanh  . Đó là ta tìm đa thức đặc trưng   của ma trận A. Sau đó, tính giá trị của  .

Phương pháp giải tìm trị riêng, vectơ riêngSửa đổi

  • Bước 1: Giải phương trình đặc trưng   (1) tìm giá trị riêng.
  • Bước 2: Tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng  :

Ứng với mỗi giá trị riêng   vừa tìm được, ta giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  (2)

Lưu ý: theo tính chất trên, thì hpt (2) luôn luôn có vô số nghiệm. Do đó, nếu bạn giải pt (2) mà vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất thì phải kiểm tra lại.

Không gian con riêng ứng với GTR Sửa đổi

Các vetơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng   cùng với vectơ 0 tạo thành 1 không gian con được gọi là không gian con riêng ứng với  

Ký hiệu:  

Nếu giá trị riêng  là nghiệm bội k thì  

Các ví dụSửa đổi

Ví dụ 1: Tìm GTR, VTR của ma trận A:  

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

 

Giải phương trình đặc trưng, ta có:  

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng  

Ứng với giá trị riêng   ta có VTR   là nghiệm của hệ phương trình:

 

Vậy VTR ứng với GTR   có dạng  

2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng  

Ứng với giá trị riêng   ta có VTR   là nghiệm của hệ phương trình:

 

Vậy VTR ứng với GTR   có dạng  

Ví dụ 2: Tìm GTR, VTR của ma trận A: , xem A là ma trận phức

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

 

Phương trình (1) vô nghiệm thực. Tuy nhiên do A là ma trận phức nên ta tìm GTR phức của ma trận. Giải phương trình đặc trưng, ta có:  

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng  

Ứng với giá trị riêng   ta có VTR   là nghiệm của hệ phương trình:

 

Vậy VTR ứng với GTR có dạng  

2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng  

Ứng với giá trị riêng  ta có VTR  là nghiệm của hệ phương trình:

 

Vậy VTR ứng với GTR   có dạng  

Ví dụ 3:

a. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận:  

b. Dựa vào đa thức đặc trưng, chứng minh A khả nghịch và chỉ ra biểu thức xác định A^{-1}

c. Tính  

d. Tìm GTR, VTR của  .

Giải.

a. Tương tự như các ví dụ trên, ta dễ dàng tìm được đa thức đặc trưng của ma trận  :

 

b. Theo tính chất   ta có:  . Do đó:

 

Đặt .

Ta có:  .

Do đó:   khả nghịch và  

c. Ta có   nên:

 

d. Từ đa thức đặc trưng ta tìm được các GTR:  

Khi đó: VTR ứng với giá trị riêng  có dạng:  

VTR ứng với giá trị riêng   có dạng:  

VTR ứng với giá trị riêng  có dạng:  

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi