Ma trận đối xứng

Trong đại số tuyến tính, một ma trận đối xứng là một ma trận vuông, A, bằng chính ma trận chuyển vị của nó.

Mỗi phần tử của một ma trận đối xứng thì đối xứng qua đường chéo. Do vậy, nếu các phần tử được viết dưới dạng A = (aij), thì

cho mọi ij. Ví dụ, ma trận 3×3 dưới đây đối xứng:

Mọi ma trận chéo đều đối xứng, bởi vì mọi phần tử không nằm trên đường chéo đều có giá trị 0.

Một ma trận đối xứng thực biểu diễn một toán tử tự liên hợp[1] trên một không gian tích trong thực. Khái niệm tương tự trong không gian tích trong phức là ma trận Hermite với các phần tử số phức, ma trận Hermite bằng chính chuyển vị liên hợp của nó.

Tính chấtSửa đổi

Tính chất cơ bảnSửa đổi

  • Tổng và hiệu của hai ma trận đối xứng là ma trận đối xứng.
  • Đối với tích hai ma trận đối xứng, nếu  ,   là ma trận đối xứng thì tích   đối xứng khi và chỉ khi  ,  giao hoán (có nghĩa là   =  ).
  • Cho số nguyên dương  ,   đối xứng khi và chỉ khi   đối xứng.
  • Nếu   tồn tại, thì nó đối xứng khi và chỉ khi   đối xứng.

Phân tích thành ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứngSửa đổi

Mọi ma trận vuông đều có thể viết thành tổng của ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng.Cách viết này là duy nhất. Phép phân tích này được gọi là phép phân tích Toeplitz. Nếu   là không gian của các ma trận vuông  ,   là không gian của các ma trận đối xứng    là không gian của các ma trận phản đối xứng   thì   , hay:

 

với   kí hiệu phép tính tổng trực tiếp. Nếu   thì

 .

Quan sát rằng   . Điều này đúng với mọi ma trận vuông có các phần tử nhập từ các trườngđộ đặc trưng khác 2.

Ma trận tương đẳng với ma trận đối xứngSửa đổi

Ma trận chuẩn tắcSửa đổi

Ma trận đối xứng thựcSửa đổi

Ma trận đối xứng phứcSửa đổi

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Jesús Rojo García (1986). Álgebra lineal (bằng tiếng Tây Ban Nha) (ấn bản 2). Editorial AC. ISBN 84-7288-120-2.