Định nghĩa
sửa
Quan hệ với các tích phân khác
sửa
Tích phân từng phần cho phép thiết lập mối quan hệ lặp lại:
. Từ đây ta thu được các công thức tổng quát:
.
Tiệm cận dãy các tích phân Wallis
sửa
Các tích phân Wallis có thể được thể hiện qua các tích phân Euler:
- Tích phân Euler loại thứ nhất cũng được gọi là hàm beta:
-
- Tích phân Euler loại thứ hai cũng được gọi là hàm gamma:
- .
Biết rằng và , ta có thể viết các tích phân Wallis dưới dạng:
. Từ công thức lặp lại, ta có mối quan hệ tiệm cận:
. Hệ quả:
.
Ứng dụng
sửa
Thiết lập công thức Stirling
sửa
Giả sử sự tồn tại một hằng số sao cho:
. Bằng cách thay thế các giai thừa trong biểu thức trên bằng các tích phân Wallis, ta có:
- .
So sánh với tiệm cận của tích phân Wallis thu được trước đó, ta có
. Do đó, ta suy ra công thức Stirling:
- .
Tính π
sửa
Từ , ta có
. Mặt khác:
- .
Ta suy ra công thức tích Wallis:
- .
Tham khảo
sửa
Liên kết ngoài
sửa
- Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.