Trong toán học, một hình elíp là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số. Đường tròn là trường hợp đặc biệt của đường elip khi hai tiêu điểm trùng nhau. Độ dẹt của hình elip được biểu diễn bằng tâm sai e của nó, chạy từ e = 0 (trường hợp của đường tròn) đến e = 1 (độ dẹt vô hạn, không còn là elíp mà là một parabol).
Phương trình chính tắc của một elíp với tâm là gốc tọa độ và chiều dài 2a và chiều rộng 2b là:
Giả sử a ≥ b, các tiêu điểm có tọa độ (±c, 0) với . Phương trình tham số của elíp là:
Elíp là một loại đường conic đóng: một đường cong phẳng bao quanh mặt cắt của một hình nón với một mặt phẳng nghiêng (xem hình bên). Elíp có nhiều điểm tương đồng với hai đường conic khác là parabol và hyperbol, cả hai đều hở và không có giới hạn. Một mặt cắt nghiêng của một hình trụ tròn#Mặt cắt cũng có hình elíp.
Một hình elíp cũng có thể được định nghĩa chỉ với một tiêu điểm và một đường thẳng nằm ngoại elíp gọi là đường chuẩn: elíp là quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách tới tiêu điểm và đường chuẩn là hằng số. Hằng số tỉ lệ này chính là tâm sai của elíp được tạo thành:
.
Hình elíp rất thông dụng trong vật lý, thiên văn và kỹ thuật. Ví dụ, quỹ đạo của mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời gần giống một hình elíp với Mặt Trời là một tiêu điểm (chính xác, tiêu điểm là tâm tỉ cự của cặp Mặt Trời – hành tinh). Quỹ đạo của mặt trăng xoay quanh hành tinh và tất cả cả hệ hai thiên thể khác đều như thế. Hình dạng của các hành tinh và sao thường được mô tả bằng hình ellipsoid. Một hình tròn nhìn từ một góc nghiêng trông giống một hình elíp, tức hình elíp là ảnh của hình tròn qua một phép chiếu song song hay vuông góc. Hình elíp cũng là dạng đường cong Lissajous đơn giản nhất, với chuyển động theo chiều ngang và dọc là các đường hình sin với cùng tần số. Hiện tượng tương tự dẫn đến phân cực elíp của ánh sáng trong quang học.
Tên gọi "elíp" (tiếng Anh: ellipse), xuất phát từ tiếng Hy Lạp cổ đại: ἔλλειψις (élleipsis, "thiếu"), được đưa ra bởi Apollonius xứ Perga trong quyển Conics của ông.
Một đường elíp có thể được xác định là tập hợp hay quỹ tích các điểm trên mặt phẳng Euclid:
Với hai điểm cố định F1, F2 gọi là tiêu điểm và một khoảng cách 2a lớn hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm, đường elíp là quỹ tích các điểm P sao cho tổng các khoảng cách | PF1 |, | PF2 | bằng 2a. Tức là
Trung điểm C của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm gọi là tâm của elíp. Đường thẳng nối hai tiêu điểm là trục lớn, và đường vuông góc với nó đi qua tâm là trục bé. Các trục của hình elíp cắt elíp tại bốn điểm, gọi là các đỉnh của elíp. Độ dài đoạn thẳng F1F2 = 2c được gọi là tiêu cự, và c là bán tiêu cự. Tỉ số e = c / a được gọi là độ lệch tâm hay tâm sai.
Trường hợp F1 ≡ F2 cho ta một đường tròn, trường hợp đặc biệt của elíp.
Phương trình | PF1 | + | PF2 | = 2a có thể được xem theo cách khác:
Nếu c2 là đường tròn với tâm là F2 và bán kính 2a thì quỹ tích các điểm P có khoảng cách đến đường tròn c2 bằng khoảng cách đến tiêu điểm F1 tạo thành một đường elíp:
Đường tròn c2 gọi là đường tròn chuẩn (với tâm là tiêu điểm F2) của elíp.[1] Tính chất này không nên nhầm lẫn với định nghĩa của elíp sử dụng đường chuẩn ở dưới.
Sử dụng mặt cầu Dandelin, ta có thể chứng minh bất kì mặt cắt nghiêng của một hình nón là một hình elíp, với điều kiện mặt phẳng cắt không đi qua đỉnh và có độ dốc bé hơn độ dốc đường sinh của mặt nón.
Trong suốt phần còn lại của bài, (E) là elíp trong hệ tọa độ Descartes với tâm tại gốc tọa độ, trục lớn là trục x và
tiêu điểm là F1 = (c, 0), F2 = (−c, 0),
các đỉnh là V1 = (a, 0), V2 = (−a, 0),
trong đó a > c.
Với một điểm có tọa độ (x, y) nằm trên elíp (E), bán kính qua tiêu điểm (c, 0) là và bán kính qua tiêu điểm còn lại là . Do điểm (x, y) nằm trên elíp nên
Biến đổi thích hợp và đặt ẩn phụ b2 = a2 − c2 cho ta phương trình chính tắc của elíp (E):
(1)
Giải tìm y, ta được
Chiều rộng và chiều cao a, b được gọi là bán trục lớn và bán trục bé của elíp. Bán kính qua tiêu điểm trái và phải của (x, y) lần lượt là a + ex và a − ex.
Từ phương trình này dễ thấy hình elíp đối xứng qua các trục tọa độ và qua gốc tọa độ.
Chứng minh phương trình chính tắc
Từ phương trình tổng khoảng cách
Chuyển vế một dấu căn rồi bình phương hai vế, ta được
Rút gọn phương trình trên cho ta
Rút gọn phương trình trên và sắp xếp lại các hạng tử, ta được:
Đặt b2 = a2 − c2 rồi chia cả hai vế của phương trình trên cho ta (ab)2, ta được phương trình chính tắc của elíp:
Trong suốt bài viết này, a sẽ là bán trục lớn còn b là bán trục bé, tức a ≥ b > 0. Trong dạng chính tắc của elíp (1), nếu a < b thì elíp sẽ dài chứ không dẹt.
với điều kiện a > b. Một elíp với hai trục bằng nhau (a = b) có tâm sai bằng 0, và là một đường tròn. Một elíp với trục bé bằng 0 có tâm sai bằng 1, và là một parabol.
Độ dài của dây cung qua một tiêu điểm và vuông góc với trục lớn được gọi là trục bên (tiếng Anh: latus rectum). Một nửa độ dài đó là bán trục bên, thường được ký hiệu là ℓ và bằng
Một đường thẳng d tùy ý cắt elíp tại 2 điểm gọi là cát tuyến, tại 1 điểm là tiếp tuyến. Tiếp tuyến của elíp (E) tại điểm (x1, y1) có phương trình tọa độ là:
Nếu hai điểm trên elíp (x1, y1) và (x2, y2) thỏa , thì chúng nằm trên hai đường kính liên hợp (xem ở dưới). Nếu a = b, elip là hình tròn và "liên hợp" ở đây là "vuông góc".
Chứng minh
Xét điểm (x1, y1) nằm trên elíp (E) và là phương trình đường thẳng g bất kỳ đi qua (x1, y1). Như vậy một điểm P nằm trên đường thẳng g có tọa độ (x1 + tu, y1 + tv).
Giả sử điểm P cũng nằm trên elíp (E). Thay tọa độ của P vào phương trình chính tắc của elíp (1), ta được
Đến đây ta có hai trường hợp:
Tức t = 0, hay P chính là (x1, y1). Nói cách khác, đường thẳng g chỉ cắt elíp tại một điểm duy nhất là (x1, y1), tức g là tiếp tuyến tại đó. Vectơ pháp tuyến của g là , do đó phương trình tiếp tuyến là với một số k nào đó. Vì (x1, y1) nằm trên tiếp tuyến đó, thế vào ta được k = 1.
Khi ấy đường thẳng g cắt elíp tại hai điểm, tương ứng với và Tức g là cát tuyến qua elíp (E).
Khi ấy hình elíp là một elíp thực (tức (2) có nghiệm thực) không suy biến khi và chỉ khi C∆ < 0. Nếu C∆ > 0, phương trình không có nghiệm thực, và nếu ∆ = 0, elíp suy biến thành một điểm.[4]:tr.63
Nếu một elíp có bán trục lớn a, bán trục bé b, tọa độ của tâm là (x0, y0), và góc quay ϕ (góc giữa trục x dương đến bán trục lớn của elíp) thì hệ số của phương trình (2) là:
Những biểu thức này có thể suy ra từ phương trình chính tắc bằng phép biến đổi afin của tọa độ:
Ngược lại, từ phương trình tổng quát (2) ta có thể suy ra phương trình chính tắc như sau:
Sử dụng các hàm lượng giác, biểu diễn tham số của elíp chuẩn là:
Tham số t (gọi là dị thường lệch tâm trong thiên văn học) không phải là góc giữa điểm (x(t), y(t)) với trục hoành, mà có ý nghĩa hình do Philippe de La Hire đưa ra (xem Vẽ elíp ở dưới).[5]
Bằng phép đổi biến, ta được các biểu thức hữu tỉ cho các hàm lượng giác:
và phương trình tham số hữu tỉ của hình elíp
Phương trình trên cho ta tất cả các điểm trên elíp chính tắc ngoại trừ đỉnh trái
Với , công thức này biểu diễn góc phần tư thứ nhất (phần trên bên phải) của hình elíp, đi ngược chiều kim đồng hồ khi u tăng dần. Đỉnh bên trái (−a, 0) là giới hạn
Dạng hữu tỉ của các đường conic thường được dùng trong các phần mềm CAD (xem đường cong Bézier).
Một biểu diễn tham số khác sử dụng độ dốc m của tiếp tuyến tại điểm (a cos t, b sin t). Độ dốc này có thể được tính từ đạo hàm của phương trình tham số ở trên. Cụ thể là:
Thay các biểu thức trên cho cos t và sin t trong dạng tham số chuẩn ở trên, ta được:
Ở đây m là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên elíp. Khi dấu trước căn thức ở dưới mẫu là dương, điểm (x, y) thuộc nửa trên của elíp, ngược lại nếu dấu âm thì điểm đó thuộc nửa dưới của elíp. Hai đỉnh trái phải (±a, 0) không được biểu diễn do có tiếp tuyến thẳng đứng (độ dốc là vô cùng).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (x(m), y(m)) có dạng y = mx + n. Hệ số tự do n có thể được xác định bằng cách thay tọa độ của điểm trên elíp tương ứng, cho ta:
Phương trình tiếp tuyến này có thể được dùng để xác định phương khuy của hình elíp.
Một định nghĩa khác cho elíp sử dụng biến đổi afin là:
Một elíp bất kỳ là ảnh của một phép biến đổi afin của đường tròn đơn vị với phương trình .
Biểu diễn tham số
Một phép biến đổi afin của mặt phẳng Euclid có dạng , trong đó A là một ma trận (với định thức khác không) và là một vectơ bất kỳ. Nếu là các vectơ cột của ma trận A, đường tròn đơn vị (cos(t), sin(t)), trong đó 0 ≤ t ≤ 2π, biến thành hình elíp:
Ở đây là tâm và là hướng của của hai đường kính liên hợp, không nhất thiết phải vuông góc.
Đỉnh
Bốn đỉnh của elíp là , trong đó tham số t0 là nghiệm của:
(Nếu , thì t0 = 0.) Phương trình trên được suy ra như sau. Vectơ tiếp tuyến tại điểm is:
Tại đỉnh của với tham số t = t0, tiếp tuyến với elíp vuông góc với bán trục lớn/bé, do đó:
Khai triển và sử dụng các đẳng thức lượng giác cos2t − sin2t = cos 2t,2sin t cos t = sin 2t cho ta phương trình trên.
Phương trình ẩn
Giải phương trình tham số cho cos t, sin t và để ý rằng cos2t + sin2t = 1, ta được phương trình ẩn
.
Elíp trong không gian
Định nghĩa của elíp tổng quát trong phần này cho ta biểu diễn tham số của một elíp bất kỳ, thậm chí trong không gian ba chiều, nếu ta cho là các vectơ trong không gian.
Each of the two lines parallel to the minor axis, and at a distance of from it, is called a directrix of the ellipse (see diagram).
For an arbitrary point of the ellipse, the quotient of the distance to one focus and to the corresponding directrix (see diagram) is equal to the eccentricity:
The proof for the pair follows from the fact that and satisfy the equation
The second case is proven analogously.
The converse is also true and can be used to define an ellipse (in a manner similar to the definition of a parabola):
For any point (focus), any line (directrix) not through , and any real number with the ellipse is the locus of points for which the quotient of the distances to the point and to the line is that is:
The choice , which is the eccentricity of a circle, is not allowed in this context. One may consider the directrix of a circle to be the line at infinity.
Let , and assume is a point on the curve.
The directrix has equation . With , the relation produces the equations
and
The substitution yields
This is the equation of an ellipse (), or a parabola (), or a hyperbola (). All of these non-degenerate conics have, in common, the origin as a vertex (see diagram).
If , introduce new parameters so that , and then the equation above becomes
which is the equation of an ellipse with center , the x-axis as major axis, and
the major/minor semi axis .
General ellipse
If the focus is and the directrix , one obtains the equation
(The right side of the equation uses the Hesse normal form of a line to calculate the distance .)
The normal at a point bisects the angle between the lines .
Proof
Because the tangent is perpendicular to the normal, the statement is true for the tangent and the supplementary angle of the angle between the lines to the foci (see diagram), too.
Let be the point on the line with the distance to the focus , is the semi-major axis of the ellipse. Let line be the bisector of the supplementary angle to the angle between the lines . In order to prove that is the tangent line at point , one checks that any point on line which is different from cannot be on the ellipse. Hence has only point in common with the ellipse and is, therefore, the tangent at point .
From the diagram and the triangle inequality one recognizes that holds, which means: . But if is a point of the ellipse, the sum should be .
Application
The rays from one focus are reflected by the ellipse to the second focus. This property has optical and acoustic applications similar to the reflective property of a parabola (see whispering gallery).
^Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, tr. 251, ISBN978-0-88385-354-2