Đường thẳng Simson

Trong hình học, định lý về đường thẳng Simson được phát biểu như sau:

Đường thẳng Simson LN (đỏ) của tam giác ABC.

Cho tam giác và một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khi đó, các hình chiếu của điểm trên các cạnh của tam giác thẳng hàng. Đường thẳng đi qua các hình chiếu đó được gọi là Đường thẳng Simson' của điểm đối với tam giác . Đường thẳng này được đặt theo tên của nhà toán học Robert Simson.[1] Tuy nhiên, khái niệm này được xuất bản lần đầu bởi William Wallace.[2]

Mệnh đề đảo của định lý này cũng đúng: Nếu hình chiếu của một điểm trên các cạnh của một tam giác thẳng hàng thì điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Đường thẳng Simson của một điểm chính là tam giác bàn đạp của nó nhưng trong trường hợp tam giác đó suy biến thành đường thẳng.

Tính chấtSửa đổi

 
Đường thẳng Simson (màu đỏ) luôn tiếp xúc với tam giác cong Steiner (màu xanh).

Cho tam giác   nội tiếp đường tròn  .

Xét tính chất các đường thẳng Simson của các điểm trên  .

  • Đường thẳng Simson của đỉnh   của tam giác là đường cao hạ từ đỉnh đó, và đường thẳng Simson của điểm   đối xứng với đỉnh   qua tâm   là cạnh   của tam giác.
  • Nếu    là các điểm thuộc  , thì các góc giữa hai đường thẳng Simson của    bằng nửa số đo cung  . Trong trường hợp đặc biệt, nếu    đối xứng nhau qua tâm  , thì các đường thẳng Simson của chúng vuông góc với nhau tại một điểm nằm trên đường tròn chín điểm.
  • Nếu gọi  trực tâm của tam giác  , thì đường thẳng Simson của   đi qua trung điểm của đoạn   (trung điểm này nằm trên đường tròn chín điểm).
  • Nếu hai tam giác cùng nột tiếp  , thì góc giữa hai đường thẳng Simson lines của một điểm   trên   đối với hai tam giác đó không phụ thuộc vào vị trí của   trên  .
  • Đường thẳng Simson luôn tiếp xúc với tam giác cong Steiner.

Mở rộngSửa đổi

Mở rộng 1Sửa đổi

 
Mở rộng thứ nhất: Hình chiếu tương ứng của ba điểm Ap,Bp,Cp trên ba cạnh BC,CA,AB thẳng hàng

Cho điểm   trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác  , và một đường thẳng   đi qua tâm đường tròn đó. Ba đường thẳng   cắt đường thẳng   tại ba điểm phân biệt  . Khi đó hình chiếu của ba điểm   tương ứng trên ba cạnh   sẽ thẳng hàng. Đã có bốn chứng minh cho mở rộng trên.[3][4][5][6][7][8]

Mở rộng 2Sửa đổi

 
Mở rộng thứ 2: A propjective of Simson line

Cho điểm   trong mặt phẳng và đường conic, ba đường thẳng phân biệt qua  . Đường thẳng thứ nhất cắt conic tại các điểm  ,  . Định nghĩa các điểm  ,    ,   tương tự. Gọi   điểm trong mặt phẳng, gọi  ,  ,   là ba điểm giao bởi ba đường thẳng  ,  ,   với ba cạnh tam giác  ,  ,   của tam giác   khi đó bốn điểm  ,  ,  ,   thẳng hàng khi nếu và chỉ nếu   nằm trên đường conic. [9][10][11] Chúng ta có thể xem chi tiết hơn về mở rộng này tại định lý Đào (conic)

Mở rộng 3Sửa đổi

 
Định lý Carnot(mở rộng định lý Simson)

Mở rộng này của Lazare Carnot một nhà toán học người Pháp.

Gọi D là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và A0, B0, C0 lần lượt là các điểm trên ba cạnh BC, CA, AB khi đó góc hợp bởi các đường thẳng DA0, DB0, DC0 lần lượt với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau thì A0, B0, C0 thẳng hàng .[12]

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ “Gibson History 7 - Robert Simson”. ngày 30 tháng 1 năm 2008.
  2. ^ “Simson Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles”. ngày 23 tháng 9 năm 2008.
  3. ^ Telv Cohld and Luis Gonzalez (ngày 19 tháng 4 năm 2015). “A Generalization of Simson Line”.
  4. ^ “Yahoo group, AdvancedPlaneGeometry, conversations, messages 2644” (PDF). Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 24 tháng 7 năm 2015. Truy cập ngày 30 tháng 8 năm 2015.
  5. ^ Tran Quang Huy, http://www.artofproblemsolving.com/community/u232837h1075523p5181203
  6. ^ Nguyen Van Linh, https://nguyenvanlinh.files.wordpress.com/2015/12/simson-generalization.pdf
  7. ^ http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf Nguyen Van Linh, Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem, Forum Geometricorum, 16 (2016) 57--61.
  8. ^ Nguyen Le Phuoc and Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. The Mathematical Gazette
  9. ^ Geoff Smith (2015). 99.20 A projective Simson line. The Mathematical Gazette, 99, pp 339-341. doi:10.1017/mag.2015.47
  10. ^ A Generalization Simson's line, carnot theorem, Collings-Carnort theorem
  11. ^ The point of concurrency lies on the circumcircle
  12. ^ F. G.-M., Exercise de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, 1991

Liên kết ngoàiSửa đổi