Định lý Rolle
Bài viết hoặc đoạn này cần được wiki hóa để đáp ứng tiêu chuẩn quy cách định dạng và văn phong của Wikipedia. |
Bài này có liệt kê các nguồn tham khảo và/hoặc liên kết ngoài, nhưng nội dung trong thân bài cần được dẫn nguồn đầy đủ bằng các chú thích trong hàng để người khác có thể kiểm chứng. |
Trong vi tích phân, định lý Rolle phát biểu rằng bất cứ hàm giá trị thực nào khả vi, đạt giá trị bằng nhau tại hai điểm phân biệt phải có điểm tĩnh lại đâu đó giữa chúng; đó là, một điểm nơi đạo hàm cấp một (hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm) bằng 0.
Chứng minh định lý Rolle phát biểu dưới dạng trên tương đối phức tạp. Thường ta phải sử dụng định lý Fermat. Tuy nhiên, ta có thể phát biểu lại định lý Rolle dưới dạng thu hẹp hơn. Khi đó việc chứng minh là đơn giản.
Định lý Rolle thu hẹp
sửaNếu hàm số thực f liên tục trên đoạn [a; b], (a < b), khả vi liên tục trên khoảng (a; b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f′(c) = 0.
Chứng minh
sửaGiả sử không tồn tại c ∈ (a; b) để f′(c) = 0, tức là f′(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a; b). Khi đó, do f′(x) liên tục trên (a; b) nên f′(x) không đổi dấu trên (a; b).
Không giảm tính tổng quát, giả sử f′(x) > 0 ∀x ∈ (a; b). Mà f(x) liên tục trên [a; b] nên f(x) đồng biến trên [a; b], suy ra f(a) < f(b), trái với giả thiết f(a) = f(b).
Điều này chứng tỏ giả sử ban đầu của chúng ta là sai. Vậy tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f′(c) = 0. Bài toán đã được chứng minh.
Tham khảo
sửa- Kaplansky, Irving (1972), Fields and Rings
- Craven, Thomas; Csordas, George (1977), “Multiplier sequences for fields”, Illinois J. Math., 21 (4): 801–817
- Ballantine, C.; Roberts, J. (tháng 1 năm 2002), “A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields”, The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 109 (1): 72–74, doi:10.2307/2695770, JSTOR 2695770
Liên kết ngoài
sửa- Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Rolle theorem”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Rolle's and Mean Value Theorems at Cut-the-knot.
Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Định lý Rolle. |