Wikipedia

Định lý cấu trúc cho các mô đun hữu hạn sinh trên một vành chính

Trong toán học, trong lĩnh vực đại số trừu tượng, định lý cấu trúc cho các mô đun hữu hạn sinh trên một vành chính là một tổng quát hóa của định lý cơ bản của các nhóm abel hữu hạn sinh. Đại khái là các mô đun hữu hạn sinh trên một vành chính có thể được phân tách duy nhất theo cách tương tự như sự phân tách các số nguyên thành các thừa số nguyên tố. Kết quả cung cấp một khuôn khổ đơn giản để hiểu rõ hơn sự tồn tại của các dạng chính tắc khác nhau của các ma trận vuông.

Phát biểu

sửa

Định lý cấu trúc cho các mô-đun hữu hạn sinh trên một vành chính thường xuất hiện dưới hai dạng sau.

Phân tách thừa số bất biến

sửa

Với mọi mô-đun M hữu hạn sinh trên một vành chính R, tồn tại một dãy giảm duy nhất các i-đê-an thực sự   sao cho M đẳng cấu với tổng trực tiếp của các mô-đun cyclic:

 

Các phần tử sinh   là duy nhất xê xích một phép nhân đơn vị.

Phân tách thừa số nguyên sơ

sửa
Mỗi mô-đun M hữu hạn sinh trên một vành chính R đẳng cấu với một mô-đun có dạng
 
với   và   là các i-đê-an nguyên sơ. Các phần tử sinh   là duy nhất (xê xích một phép nhân đơn vị).

Tham khảo

sửa
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7, MR 2286236
  • Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra, New York: Springer, pp. 218–226, Section IV.6: Modules over a Principal Ideal Domain, ISBN 978-0-387-90518-1
  • Jacobson, Nathan (1985), Basic algebra. I (2 ed.), New York: W. H. Freeman and Company, pp. xviii+499, ISBN 0-7167-1480-9, MR 0780184
  • Lam, T. Y. (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Định_lý_cấu_trúc_cho_các_mô_đun_hữu_hạn_sinh_trên_một_vành_chính&oldid=63066013”