Lũy thừa

(đổi hướng từ Số mũ)

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số ab, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhânb thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là , đọc là lũy thừa bậc b của a hay a mũ b, số a gọi là cơ số, số b gọi là số mũ.

Phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn. Lũy thừa (từ Hán-Việt: ) có nghĩa là "nhân chồng chất lên".

Đặc biệt:

a² còn gọi là "a bình phương";
a³ còn gọi là "a lập phương".

Lũy thừa với số mũ nguyênSửa đổi

Lũy thừa của 0 và 1Sửa đổi

 .(n > 0)
 .

Lũy thừa với số mũ nguyên dươngSửa đổi

Trong trường hợp b = nsố nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

 

Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n

 
  với mọi a ≠ 0
 
 
 
 

Đặc biệt, ta có:

 

Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, phép tính lũy thừa không có tính giao hoán.

Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp, còn phép tính lũy thừa thì không.. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:

 

Lũy thừa bậc chẵn của một số âm là số dương.

Lũy thừa bậc lẻ của một số âm là số âm.

Lũy thừa với số mũ 0Sửa đổi

Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1.

 

Chứng minh:

 

Lũy thừa với số mũ nguyên âmSửa đổi

Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm m, trong đó ( ) a khác 0 và n là số nguyên dương là:

 .

Ví dụ

 .

Cách suy luận ra "lũy thừa với số mũ nguyên âm" từ "lũy thừa với số mũ không":

 

Trường hợp đặc biệt: lũy thừa của số khác không a với số mũ −1 là số nghịch đảo của nó.

 

Lũy thừa của số thực dương với số mũ hữu tỷSửa đổi

Căn bậc n của một số thực dươngSửa đổi

Một căn bậc n của số a là một số x sao cho xn = a.

Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương x sao cho xn = a.

Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là na, trong đó √ là ký hiệu căn.

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dươngSửa đổi

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m/n (m, n là số nguyên, trong đó n dương), của số thực dương a được định nghĩa là

 

định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ thựcSửa đổi

Lũy thừa của số eSửa đổi

Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:

 

Hàm e mũ, được định nghĩa bởi

 

ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa

 

Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là ek như sau:

 
 

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng ex+y thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi xy là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

Lũy thừa với số mũ thựcSửa đổi

Vì mỗi số thực có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỷ nên lũy thừa của với số mũ thực x có thể định nghĩa nhờ giới hạn

 

trong đó r tiến tới x chỉ trên các giá trị hữu tỷ của r.

Chẳng hạn, nếu

 

thì

 

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên  hàm ngược của hàm e-mũ ex. Theo đó   là số b sao cho x = e b .

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ln a

nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có

 

Điều này dẫn tới định nghĩa

 

với mọi số thực x và số thực dương a.

Định nghĩa này của lũy thừa số mũ thực phù hợp với định nghĩa lũy thừa thực nhờ giới hạn ở trên và với cả lũy thừa với số mũ phức dưới đây.

Lũy thừa với số mũ phứcSửa đổi

Lũy thừa số mũ phức của số eSửa đổi

Dựa vào biểu diễn lượng giác của các số phức, người ta định nghĩa lũy thừa số mũ phức của số e như sau. Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo công thức Euler:

 

Sau đó với số phức  , ta có

 

Lũy thừa số mũ phức của số thực dươngSửa đổi

Nếu a là một số thực dương và z là số phức thì lũy thừa az được định nghĩa là

 

trong đó x = ln(a) là nghiệm duy nhất của phương trình ex = a.

Nếu  , ta có

   
 
 

Tính chất Lũy ThừaSửa đổi

Tính chất cơ bảnSửa đổi

1) an = a   a   a  ...   a

(n thừa số a)

2)  

3) 0n = 0 (n > 0)

4) 1n = 1

5) a0 = 1 ( )

6) a1 = a

7)  

Tính chất thường găpSửa đổi

1) am + n = am   an

2)   với mọi a ≠ 0

3)  

4)  

5)  

6) 

7)  

8)  

9)  

Hàm số lũy thừaSửa đổi

Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng   với  

Tập xác địnhSửa đổi

Tập xác định của hàm số trên phụ thuộc vào số mũ  

  • nếu   là số nguyên dương thì tập xác định là  
  • nếu   hoặc   là số nguyên âm thì tập xác định là  
  • nếu   không phải là số nguyên thì tập xác định là  

Đạo hàmSửa đổi

Hàm số  có đạo hàm tại mọi x > 0 và   là đạo hàm cấp 1 của f(x)

Chiều biến thiên của hàm số lũy thừa với biến số dươngSửa đổi

Xét hàm số   trên x>0:

  • Với  , hàm số đồng biến trên  
  • Với  , hàm số nghịch biến trên  

Đồ thịSửa đổi

 
Đồ thị hàm số   trên x>0

Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ thực và biến số dươngSửa đổi

Đồ thị hàm số  trên x>0 có tính chất sau:

  • Luôn đi qua điểm I(1;1)
  • Nếu  , đồ thị nhận trục Ox là tiệm cận ngang và trục Oy là tiệm cận đứng
  • Có đường biểu diễn phụ thuộc vào số mũ  

Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ nguyênSửa đổi

Đồ thị hàm số   với   có tính chất tương tự như trên với x>0. Ngoài ra, phần đồ thị với x<0 có tính đối xứng với phần đồ thị x>0 phụ thuộc vào n:

  • Nếu n là số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục Oy do f(x) là hàm số chẵn
  • Nếu n là số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O do f(x) là hàm số lẻ

Hàm số mũSửa đổi

Hàm số   với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Đạo hàmSửa đổi

Hàm số   với a là số thực dương khác 1 thì có đạo hàm tại mọi x và   là đạo hàm cấp 1 của  

Đặc biệt hàm số   có đạo hàm cấp 1 là  

Chiều biến thiênSửa đổi

Hàm số   đồng biến trên R nếu a>1 và nghịch biến trên R nếu 0<a<1.

Đồ thịSửa đổi

 
Đồ thị hàm số  

Đồ thị hàm số  có những tính chất sau:

  • Luôn đi qua điểm I(0;1) và điểm J(1;a)
  • Đồ thị nằm phía trên trục Ox và nhận trục Ox làm tiệm cận ngang

Tìm chữ số tận cùngSửa đổi

Tìm chữ số tận cùng của lũy thừaSửa đổi

Để tìm chữ số tận cùng, ta có thể lập bảng để biết chữ số tận cùng được thay đổi như thế nào.

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 72004?

Phân tích:

Lũy thừa 71 72 73 74 75 76 77 78
Chữ số tận cùng 7 9 3 1 7 9 3 1

Giải:

Chữ số tận cùng được lặp lại theo dãy: 7, 9, 3, 1, 7,...

2004: 4 = 501 dư 0

Vậy chữ số tận cùng của 72004 là 1.

Tìm số các số 0 tận cùng của một tíchSửa đổi

Vì 2 x 5 = 10 nên muốn tìm số các số 0 tận cùng ta có thể tìm số cặp 2,5 là ra luôn số các số 0 tận cùng.

Xem thêmSửa đổi