Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Lũy thừa”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
←Thay cả nội dung bằng “: <br /> == Xem thêm == * Phép cộng * Phép trừ * Phép nhân * Phép chia * Phép khai căn * Lôgarit|Phé…” Thẻ: Thay thế nội dung Tẩy trống trang (hoặc lượng lớn nội dung) Soạn thảo trực quan |
n Đã lùi lại sửa đổi của 2405:4800:2B8E:B229:9A1:930E:C7FF:2CF9 (Thảo luận) quay về phiên bản cuối của 115.75.32.189 Thẻ: Lùi tất cả |
||
Dòng 1:
'''Lũy thừa''' là một [[phép toán hai ngôi]] của [[toán học]] thực hiện trên hai số '''a''' và '''b''', kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của [[phép nhân]] có '''b''' thừa số '''a''' nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là <math>a^b</math>, đọc là ''lũy thừa bậc b của a hay a mũ b'', số a gọi là [[cơ số]], số b gọi là [[số mũ]].
[[Phép toán ngược]] với phép tính lũy thừa là phép [[khai căn]]. Lũy thừa (từ [[Từ Hán-Việt|Hán-Việt]]: {{linktext|累|乘}}) có nghĩa là "nhân chồng chất lên".
Đặc biệt
: ''a''<big>²</big> còn gọi là "a [[bình phương]]";
: ''a''<big>³</big> còn gọi là "a [[lập phương]]".
== Lũy thừa với số mũ nguyên ==
=== Lũy thừa của 0 và 1 ===
:<math>0^n = 0\,</math>.(n > 0)
:<math>1^n = 1\,</math>.
=== Lũy thừa với số mũ nguyên dương ===
Trong trường hợp '''b''' = '''n''' là [[số nguyên dương]], lũy thừa bậc n của a là [[tích]] của n [[thừa số]] [[bằng]] nhau, mỗi thừa số bằng a:
:<math>a^n = \underbrace{a \times a \cdots \times a}_n</math>
Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương ''m'', ''n'' là
:<math>a^{m + n} = a^m \times a^n </math>
:<math>a^{m - n} =\frac{a^m}{a^n}</math> với mọi ''a'' ≠ 0
:<math>(a^m)^n = a^{mn}</math>
:<math> a^{m^n}=a^{(m^n)}</math>
:<math>(a \times b)^n = a^n \times b^n</math>
:<math>(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}</math>
Đặc biệt, ta có:
:<math>a^1 = a</math>
Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất [[giao hoán]], phép tính lũy thừa không có tính giao hoán.
Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp, còn phép tính lũy thừa thì không.. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:
:<math>a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}</math>
=== Lũy thừa với số mũ 0 ===
Lũy thừa với số mũ 0 của số ''a'' khác không được quy ước bằng 1.
:<math> a^0 = 1 </math>
Chứng minh:
:<math> 1 = \frac{a^n}{a^n} = a^{n - n} = a^0 </math>
=== Lũy thừa với số mũ nguyên âm ===
Lũy thừa của ''a'' với số mũ nguyên âm m, trong đó (<math> m = -n </math>) ''a'' khác 0 và ''n'' là số nguyên dương là:
:<math> a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math>.
Ví dụ
:<math>3^{-4} = \frac{1}{3^4}= \frac{1}{3.3.3.3} =\frac{1}{81} </math>.
Cách suy luận ra "lũy thừa với số mũ nguyên âm" từ "lũy thừa với số mũ không":
:<math>a^0 = a^{n - n} = \frac{a^n}{a^n} = a^n.\frac{1}{a^n} = a^n.a^{-n}</math>
Trường hợp đặc biệt: lũy thừa của số khác không ''a'' với số mũ −1 là [[số nghịch đảo]] của nó.
<math>a^{-1} = \frac{1}{a}.</math>
== Lũy thừa của số thực dương với số mũ hữu tỷ ==
=== Căn bậc n của một số thực dương ===
Một '''căn bậc ''n''''' của số ''a'' là một số ''x'' sao cho ''x<sup>n</sup>'' = ''a''.
Nếu ''a'' là số thực dương, ''n'' là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương '''x sao cho ''x<sup>n</sup>'' = ''a''.
Số x này được gọi là [[căn số học]] bậc n của ''a''. Nó được ký hiệu là <sup>''n''</sup>√<span style="text-decoration:overline">''a''</span>, trong đó √<span style="text-decoration:overline"> </span> là ký hiệu căn.
=== Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương ===
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản ''m''/''n'' (''m, n'' là số nguyên, trong đó n dương), của số thực dương ''a'' được định nghĩa là
:<math>a^{m/n} = \left(a^m\right)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}</math>
định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.
== Lũy thừa với số mũ thực ==
=== Lũy thừa của số e ===
Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của [[logarit tự nhiên]]. Số ''[[Số e|e]]'' được định nghĩa qua giới hạn sau:
:<math>e =\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac 1 n \right)^n.</math>
'''Hàm e mũ''', được định nghĩa bởi
:<math>e^x =\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac x n \right)^n,</math>
ở đây ''x'' được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa
:<math>e^{x+y} = e^{x} \cdot e^{y}.</math>
Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của ''x''.
Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm ''e'' mũ với ''x'' là số nguyên dương ''k'' chính là ''e''<sup>''k''</sup> như sau:
:<math>(e)^k = \left(\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right)^k = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right)^k = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k}</math>
:<math> = \lim_{n \cdot k \rightarrow \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k} = \lim_{m \rightarrow \infty} \left(1+\frac k m \right)^m = e^k. </math>
Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng ''e''<sup>''x''+''y''</sup> thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi ''x'' và ''y'' là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.
=== Lũy thừa với số mũ thực ===
Vì mỗi [[số thực]] có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỷ nên lũy thừa của với số mũ thực ''x'' có thể định nghĩa nhờ giới hạn
:<math> b^x = \lim_{r \to x} b^r,</math>
trong đó ''r'' tiến tới ''x'' chỉ trên các giá trị hữu tỷ của ''r''.
Chẳng hạn, nếu
:<math>x \approx 1.732 </math>
thì
:<math>5^x \approx 5^{1.732} =5^{433/250}=\sqrt[250]{5^{433}} \approx 16.241.</math>
Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.
[[Logarit tự nhiên]] <math>\ln {(x)}</math> là [[hàm ngược]] của hàm e-mũ ''e''<sup>''x''</sup>. Theo đó <math>\ln x</math> là số b sao cho x = e <sup> b </sup>.
Nếu ''a'' là số thực dương, ''x'' là số thực bất kỳ ta có a = e <sup> ln ''a''</sup>
nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có
:<math>a^x = (e^{\ln a})^x = e^{x \cdot\ln a}.\,</math>
Điều này dẫn tới định nghĩa
:<math>a^x = e^{x\cdot\ln a}\,</math>
với mọi số thực ''x'' và số thực dương ''a''.
Định nghĩa này của lũy thừa số mũ thực phù hợp với định nghĩa lũy thừa thực nhờ giới hạn ở trên và với cả lũy thừa với số mũ phức dưới đây.
== Lũy thừa với số mũ phức ==
=== Lũy thừa số mũ phức của số e ===
Dựa vào biểu diễn lượng giác của các số phức, người ta định nghĩa lũy thừa số mũ phức của số e như sau.
Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của ''e'' định nghĩa theo [[công thức Euler]]:
:<math>e^{ix} = \cos x + i\cdot \sin x </math>
Sau đó với số phức <math>z=x+y \cdot i</math>, ta có
:<math>e^z= e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy} = e^x (\cos y + i\cdot \sin y) </math>
=== Lũy thừa số mũ phức của số thực dương ===
Nếu ''a'' là một số thực dương và ''z'' là số phức thì lũy thừa ''a''<sup>''z''</sup> được định nghĩa là
:<math>a^z= {\big(e^{\ln a}\big)}^z = e^{z \cdot \ln a} </math>
trong đó ''x'' = ln(''a'') là nghiệm duy nhất của phương trình ''e''<sup>''x''</sup> = ''a''.
Nếu <math>z=x+y \cdot i</math>, ta có
:<math>a^z= e^{\ln a \cdot (x+ iy)} = </math> <math> e^ {x \ln a + i\cdot y\ln a} </math>
:<math>= e^{x \cdot \ln a }\cdot \big(\cos (y \ln a) + i \cdot \sin (y \ln a) \big) </math>
:<math>= a^x\cdot \big(\cos (y \ln a) + i \cdot \sin (y \ln a) \big) </math>
==Tính chất Lũy Thừa==
=== Tính chất cơ bản ===
1) a<sup>n</sup> = a <math> \times</math> a <math> \times</math> a <math> \times</math>... <math> \times</math> a
n chữ số a
2) <math> a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \frac{1}{a \times a \times a \times... a}</math>
3) 0<sup>n</sup> = 0 (n > 0)
4) 1<sup>n</sup> = 1
5) a<sup>0</sup> = 1
6) a<sup>1</sup> = a
7) <math> a^{-1} = \frac{1}{a}</math>
=== Tính chất thường găp ===
1) a<sup>m + n</sup> = a<sup>m</sup> <math>\times </math> a<sup>n</sup>
2) <math>a^{m - n} =\frac{a^m}{a^n}</math> với mọi ''a'' ≠ 0
3) <math>a^{m \cdot n} = (a^m)^n
</math>
4) <math> a^{m^n}=a^{(m^n)}</math>
5) <math>(a \times b)^n = a^n \times b^n</math>
6)<math>(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}</math>
7) <math>a^{m/n} = \left(a^m\right)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}</math>
8) <math>a^x = e^{x\cdot\ln a}\,</math>
9) <math>e^{ix} = \cos x + i\cdot \sin x </math>
== Tìm chữ số tận cùng ==
=== Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa===
Để tìm chữ số tận cùng, ta có thể lập bảng để biết chữ số tận cùng được thay đổi như thế nào.
'''Ví dụ:''' Tìm chữ số tận cùng của 7<sup>2004</sup>?
'''''Phân tích:'''''
{| class="wikitable"
|Lũy thừa
|7<sup>1</sup>
|7<sup>2</sup>
|7<sup>3</sup>
|7<sup>4</sup>
|7<sup>5</sup>
|7<sup>6</sup>
|7<sup>7</sup>
|7<sup>8</sup>
|…
|-
|Chữ số tận cùng
|7
|9
|3
|1
|7
|9
|3
|1
|…
|}
'''''Giải:'''''
Chữ số tận cùng được lặp lại theo dãy: 7, 9, 3, 1, 7,...
2004: 4 = 501 dư 0
Vậy chữ số tận cùng của 7<sup>2004</sup> là 1.
=== Tìm số các số 0 tận cùng của một tích ===
Vì 2 x 5 = 10 nên muốn tìm số các số 0 tận cùng ta có thể tìm số cặp 2,5 là ra luôn số các số 0 tận cùng.
== Xem thêm ==
* [[Phép cộng]]
| |||