Bài toán Napoléon

Bài toán Napoléon (tiếng Pháp: Problème de Napoléon, tiếng Anh: Napoleon's problem) là một bài toán về dựng hình bằng compa^[1]^[2], với yêu cầu đặt ra là tìm tâm của một đường tròn cho trước. Có một phiên bản dễ hơn của bài toán này, khi yêu cầu người giải chia đường tròn thành bốn cung tròn bằng nhau mà chỉ sử dụng compa.

Napoléon Bonaparte, người có tên gắn liền với bài toán này nổi tiếng yêu thích toán học, nhưng người ta không chắc chắn rằng liệu ông có phải tác giả - hay có giải được bài toán này hay không. Một người bạn của ông - nhà toán học người Ý Lorenzo Mascheroni đã lần đầu tiên đưa ra ý tưởng về việc giới hạn chỉ sử dụng compa (không có yếu tố thẳng để tránh lạm dụng như một thước kẻ) trong các bài toán dựng hình, tuy nhiên cuốn sách Euclides Danicus viết vào năm 1672 của Georg Mohr cũng đã đề cập tới ý tưởng này - mặc dù cuốn Euclides Danicus chỉ được các nhà nghiên cứu tập trung từ năm 1928.

Bài viết này sẽ đề cập tới cả hai phiên bản, với cách giải và chứng minh.

Chia đường tròn thành bốn cung bằng nhau khi cho trước tâm sửa

Hình vẽ minh họa cho bài toán chia đường tròn thành 4 cung tròn bằng nhau.

Đề bài: Cho đường tròn tâm O. Bằng compa, chia đường tròn này thành bốn cung tròn bằng nhau.

Cách giải: Ta kí hiệu đường tròn ban đầu là đường tròn C

Chọn một điểm X bất kì trên đường tròn C, vẽ đường tròn tâm X bán kính OX (với O là tâm đường tròn C), đường tròn này cắt C tại V và Y.
Làm tương tự với điểm Y vừa có, đường tròn mới thu được cắt C tại X và Z.
- Ta thấy rằng các đoạn thằng OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ có cùng chiều dài và cùng bằng với bán kính của đường tròn C.
Vẽ đường tròn tâm V, bán kính VY và đường tròn tâm Z, bán kính XZ. Hai đường tròn này có giao điểm là T.
- Ta thấy rằng độ dài đoạn thẳng VY và XZ bằng √3 lần bán kính đường tròn C. Ngoài ra, độ dài đoạn thẳng OT bằng √2 lần bán kính đường tròn C.
Cuối cùng, vẽ đường tròn tâm Z, bán kính OT, đường tròn này cắt C tại U và W. Bốn cung tròn UV, VW, WZ và ZU chính là bốn cung tròn cần tìm - mỗi cung có độ dài bằng phần tư chu vi đường tròn C.

Chứng minh: Để chứng minh cách giải trên là đúng, ta cần chứng minh tứ giác UZWV là hình thoi, để từ đó suy ra UZ = ZW = WV = VU, từ đó suy ra bốn cung tròn cùng tên là bằng nhau.

Ta thấy rằng các đoạn thằng OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ có cùng chiều dài và cùng bằng với bán kính của đường tròn C.
Từ đó, ta dễ thấy hai tứ giác OVXY và OZYX là hai hình thoi, cũng dễ thấy tam giác OVX là tam giác đều.
- Do tứ giác OVXY là hình thoi, hai đường chéo OX và VY là đường trung trực của nhau, hay nếu ta gọi H là trung điểm VY, ta có VY = 2 VH.
- Do tam giác OVX là tam giác đều mà H là trung điểm của VY (cách dựng), sử dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông VHX tại H để tính được VH = ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ OX. Từ đây suy ra VY = ${\sqrt {3}}$ XY, XZ chứng minh tương tự.
Ta dễ chứng minh tam giác OZT là tam giác vuông tại O, từ đó suy ra OT bằng ${\sqrt {2}}$ lần bán kính C.
Theo giả thuyết, U và W thuộc đường tròn tâm Z bán kính OT, từ đó UZ = ZW = OT, từ đó cũng suy ra O là trung điểm UW. Ta cũng nhận thấy, do OVX, OXY và OYZ là tam giác đều, góc VOZ có số đo bằng 180 độ, mà V và Z cùng thuộc C, từ đó suy ra O cũng là trung điểm của VZ.
Xét tú giác UZWV, do O là trung điểm của cả UW và VZ nên tứ giác này là hình bình hành. Ta cũng đã chứng minh UZ = ZW, từ đó suy ra tứ giác này là hình thoi, suy ra UZ = ZW = WV = VU.
Xét C, ta thấy $\frown UZ+\frown ZW+\frown WV+\frown VU=$ 2π, mà UZ = ZW = WV = VU, từ đó suy ra bốn cung này bằng nhau đôi một.

Tìm tâm đường tròn cho trước sửa

Đề bài: Cho trước một đường tròn, chỉ sử dụng compa để tìm tâm của nó^[3].

Cách giải:

Hình vẽ minh họa cho bài toán tìm tâm đường tròn cho trước.

Gọi (C) là đường tròn ta cần tìm tâm. Lấy A là một điểm bất kì trên (C).
Vẽ một đường tròn (C1) bất kì sao cho nó cắt (C) tại hai điểm B và B'.
Vẽ hai đường tròn (C2) với tâm lần lượt là B và B', bán kính AB và chúng cắt nhau tại C.
Vẽ đường tròn (C; AC) để nó cắt (C1) tại D và D'.
Hai đường tròn (C3) với tâm lần lượt là D và D', bán kính AD, không chỉ gặp nhau tại A mà còn gặp nhau tại O - chính là tâm đường tròn (C) cần tìm.

Chứng minh:

Hình vẽ minh họa cho chứng minh cách giải của Bài toán Napoleon.

Ý tưởng của phần chứng minh này là sẽ dựng hình chỉ sử dụng compa để dựng đoạn thẳng độ dài ${\frac {b^{2}}{a}}$ với a; b cho trước và thỏa mãn: ${\frac {a}{2}}\leqslant b\leqslant 2a$

Ta tiếp tục sử dụng hình vẽ của phần dựng hình để chứng minh như sau:

Vẽ đường tròn (O; OA = a). Để chứng minh O là tâm của (C), ta cần chứng minh nếu (C) có bán kính r thì AO = r.
Kẻ đường kính AA', lấy dây cung BB' cắt AA' tại H sao cho AB = AB' = b. Vẽ (B; AB = b), đường tròn này cắt OA tại C.
- Ta thấy góc ABA' là góc nội tiếp nửa đường tròn, từ đó suy ra góc này là góc vuông. Ta cũng thấy BH vuông góc với AA', từ đó ta thu được công thức dựa trên hệ thức lượng: ${\frac {AH}{AB}}={\frac {AB}{AA'}}$
- Từ đó, ta có: $AH={\frac {b^{2}}{2a}}$ , cũng suy ra $AC={\frac {b^{2}}{a}}$
Ta thấy A; B và B' đều nằm trên (C) bán kính r, hơn nữa AB; AB'; BC và B'C đều bằng b, từ đó suy ra $AC={\frac {b^{2}}{r}}$ , từ đó có được a = r.
Theo đó, O là tâm của đường tròn (C).

Xem thêm sửa

Tham khảo sửa

^ Martinache, Igor (2013). “La fabrique des footballeurs ”. Idées économiques et sociales. N° 171 (1): 78. doi:10.3917/idee.171.0078. ISSN 2257-5111.
^ Weisstein, Eric W. “Napoleon's Problem”. mathworld.wolfram.com (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 11 tháng 11 năm 2022.
^ Adler, August (1906). Theorie der geometrischen konstruktionen. University of Michigan. Leipzig, G.J. Göschen.

[1] Martinache, Igor (2013). “La fabrique des footballeurs ”. Idées économiques et sociales. N° 171 (1): 78. doi:10.3917/idee.171.0078. ISSN 2257-5111.

[2] Weisstein, Eric W. “Napoleon's Problem”. mathworld.wolfram.com (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 11 tháng 11 năm 2022.

[3] Adler, August (1906). Theorie der geometrischen konstruktionen. University of Michigan. Leipzig, G.J. Göschen.

[1]

[2]

[3]