Gốc của một i-đê-an

Trong lý thuyết vành giao hoán, một nhánh của toán học, gốc của một i-đê-an (hay cũng gọi là ra-đi-can của , cũng viết là radical) là một i-đê-an sao cho một phần tử là một phần tử trong gốc và chỉ khi một lũy thừa của nằm trong . Một i-đê-an gốc (hay i-đê-an bán nguyên tố) là một i-đê-an có gốc bằng với chính nó. Gốc của một i-đê-an sơ cấp là một i-đê-an nguyên tố.

Khái niệm này được khái quát cho các vành không giao hoán trong bài viết về vành bán nguyên tố.

Định nghĩa sửa

Gốc của một i-đê-an   trong một vành giao hoán  , ký hiệu   hoặc là  , được định nghĩa là

 

Ví dụ sửa

  • Xét vành   các số nguyên.
  1. Gốc của   .
  2. Gốc của   .
  3. Gốc của   .
  4. Gốc của    với   là tích các ước số nguyên tố phân biệt của  .
  • Xét i-đê-an   Ta có  .

Tính chất sửa

Xét một vành giao hoán  :

  • Ta có  .
  •   là giao của các i-đê-an nguyên tố chứa  

     

  • Một i-đê-an   của một vành   là một i-đê-an gốc khi và chỉ khi vành thương   là một vành giảm.

Tham khảo sửa

  • M. Atiyah, IG Macdonald, Giới thiệu về Đại số giao hoán, Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-40751-5 Mã số   0-201-40751-5
  • Eisenbud, David, Đại số giao hoán với quan điểm hướng tới hình học đại số, văn bản cao học toán học, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
  • Lang, Serge (2002), ‘’Đại số’’, Văn bản cao học Toán học, 211 (Sửa đổi lần thứ ba.), New York: Springer-Verlag, ISBN   Lang, Serge Lang, SergeMR   1878556, Zbl   0984.00001