Thuật toán nhân lũy thừa bằng bình phương

Thuật toán nhân lũy thừa bằng bình phương hoặc thuật toán bình phương và nhânthuật toán tính nhanh lũy thừa tự nhiên của một số (thực hoặc nguyên), trong trường hợp cơ số là số nguyên có thể được rút gọn theo một môđun nào đó.

Phép nâng lên lũy thừa tự nhiên bậc n của số x (x được gọi là cơ số) được định nghĩa từ hệ thức

Với n lớn số phép nhân là rất lớn.

Ví dụ

sửa

Chẳng hạn với n=35 quá trình tính   qua 35 bước:  
Ta nhận xét rằng có thể giảm bớt số phép nhân chẳng hạn với dãy phép tính

 , , 
 ,  .

Công thức đệ quy

sửa

Quá trình tính toán trên chính là quá trình tính nhờ công thức đệ quy

  1. Với n=0 thì  
  2. Với n>0 ta có công thức

 

Như vậy phép tính   được quy về một số phép bình phương và phép nhân do vậy mà có tên gọi thuật toán bình phương và nhân.

Giải thuật đệ quy

sửa

Giải thuật sau tính đệ quy  

Function Square_Multi (int x, n, m){
Var Int Power
If n=0 then return 1
Else {
n:=LShift(n,1) 
Power:= Square_Multi (int x, n, m)
Power:=(Power^2) mod m
  If n BitAnd 1 =0 then 
 Return Power
  Else 
  Return (Power*x) mod m 
} 
 }

Đoạn code viết bằng java:

public static int binhphuong (int x,int n,int m)
{
 int p;
 if (n==0) then return 1;
 p=binhphuong(x,n/2,m);
 if (n%2==0) 
return (p*p)%m;
 else
return (p*p*x)%m;
}

Chú ý rằng một số tự nhiênchẵn hay lẻ chỉ phụ thuộc vào bít số 0 của nó nên trong giải thuật trên ta sử dụng toán tử AndBit để xác định tính chãn lẻ của n và sử dụng phép LShif để tính phần nguyên của n/2.

Giải thuật không đệ quy

sửa

Trong giải thuật đệ quy trên đây ta xét tính chẵn lẻ của n và liên tục chia n cho 2 lấy phần nguyên cho đến khi n=0. Thực chất quá trình này chính là tìm các bít của n. Do đó ta có thể thực hiện phép đổi ra số nhị phân trước sau đó tính lũy thừa theo quy tắc bình phươngnhân.

Giải thuật

sửa

Đổi n ra số nhị phân ghi vào mảng  

Function Power_Modulo(Int x,n,m){
Var Int Power:=1 For i=1 to k do Power:=(Power^2) mod m If b[i]=1 then Power:=(Power*x) mod m Return Power }

Ví dụ

sửa

Trong ví dụ sau ta tính  .

Đổi   ra số nhị phân ta được  .

Bảng sau đây tính toán từng bước theo giá trị của các bít của  .

Khởi tạo  .

         
         
         
      -  
         
         

Như vậy ta có

 

Xem thêm

sửa

Tham khảo

sửa