Cấu trúc toán học

Bài này viết về khái niệm "cấu trúc" trong toán logic. Đối với Cấu trúc (toán logic), xem Cấu trúc toán học (định hướng).

Trong toán học, một cấu trúc trên một tập hợp, hoặc tổng quát hơn một kiểu, bao gồm thêm đối tượng toán học mà theo một cách nào đó gắn với (hay liên quan với) tập hợp, làm cho nó dễ dàng hơn để hình dung hay nghiên cứu, hoặc cho phép tập hợp có ý nghĩa hoặc sự quan trọng nào đó.

Danh sách các kiểu cấu trúc bao gồm độ đo, các cấu trúc đại số (các nhóm, các trường, v.v.), tô pô, không gian mêtric (hình học), tính thứ tự, tập hợp tương đương, và các cấu trúc vi phân.

Đôi khi, một tập được cung cấp đồng thời nhiều hơn một cấu trúc; điều này cho phép các nhà toán học nghiên cứu nó đầy đủ hơn. Ví dụ, một sắp thứ tự trên tô pô. Một ví dụ khác, nếu một tập hợp có một cấu trúc tô pô và là một nhóm, và hai cấu trúc này có quan hệ với nhau theo một cách nhất định nào đó, tập hợp này sẽ trở thành nhóm tô pô.

Các ánh xạ giữa các tập hợp mà đảm bảo tính cấu trúc (bởi vậy cấu trúc trong một miền nào đó được ánh xạ tới một cấu trúc tương ứng trong codomain) nhận được sự quan tâm trong rất nhiều lĩnh vực của toán học. Các ví dụ có thể kể ra các phép đồng cấu, giữ nguyên cấu trúc đại số; homeomorphisms, giữ nguyên cấu trúc topo; và vi phôi, giữ nguyên cấu trúc vi phân.

Ví dụ: các số thực

Tập hợp các số thực là một cấu trúc chuẩn:

• Tính thứ tự: mỗi một số hoặc là nhỏ hơn, hoặc là lớn hơn các số còn lại.
• Cấu trúc đại số: tồn tại các toán tử nhân và cộng tạo ra một trường.
• Độ đo: tồn tại khái niệm khoảng cách giữa các điểm; có thể được mở rộng ra thành độ đo Lebesgue.
• Hình học: được trang bị với một metric phẳng cùng với một cấu trúc vi phân tương ứng.
• Tô pô: tồn tại khái nhiệm tập hợp mở.

Tồn tại sự liên kết giữa các khái niệm trên:

• Cấu trúc thứ tự và, một cách độc lập, cấu trúc độ đo cùng cảm sinh ra cấu trúc tô pô của nó.
• Cấu trúc thứ tự và cấu trúc đại số tạo ra một trường có thứ tự.
• Cấu trúc đại số và cấu trúc tô pô biến nó thành một nhóm lie, một kiểu của nhóm tô pô.

Xem

• Cấu trúc(Logic toán học)
• Đại số trừu tượng
• Cấu trúc trừu tượng

• Tham khảo

  • “Structure”. PlanetMath.

  (provides a categorical definition.)