Tùy thuộc vào loại của điểm kỳ dị trong hàm lấy tích phân f, giá trị chủ yếu Cauchy được xác định bằng một trong những cách sau:
1) Số hữu hạn
trong đó b là một điểm mà tại đó các hành vi của hàm f thoả
với bất kỳ a < b và
với bất kỳ c > b
(xem dấu cộng trừ đối với việc sử dụng các ký hiệu chính xác ±, ∓).
2) Số vô hạn
trong đó
và .
Trong một vài trường hợp, ta cần xử lý đồng thời các điểm kỳ dị tại cả số hữu hạn b và cả tại vô cực. Điều này thường được giải quyết bằng một giới hạn có dạng
của một hàm giá trị phức f(z); z = x + iy, với một cực trên các đường viền. Cực được bao bởi một đường tròn bán kính ε và một đoạn quỹ đạo ngoài đường tròn này được ký hiệu L(ε). Cho hàm f(z) khả tích trên L(ε) dù ε trở nên nhỏ như thế nào, thì giá trị chủ yếu Cauchy là giới hạn:[1]
trong đó hai ký hiệu chung cho các giá trị chủ yếu Cauchy xuất hiện ở vế trái của phương trình này.
Trong trường hợp của các hàm khả tích Lebesgue, nghĩa là các hàm đó khả tích trong giá trị tuyệt đối, các định nghĩa này trùng với các định nghĩa chuẩn của tích phân.
Tích phân giá trị chủ yếu đóng một vai trò trung tâm trong cuộc thảo luận về phép biến đổi Hilbert.[2]
Cho là tập các hàm bướu, nghĩa là không gian các hàm trơn với giácompact trên đường thẳng thực \mathbb{R}. Thì ánh xạ
được xác định qua giá trị chủ yếu Cauchy bởi
là một phân bố. Ảnh xạ tự nó đôi khi có thể được gọi là giá trị chủ yếu (vì thế ký hiệu p.v.). Ví dụ, sự phân bố này xuất hiện trong biến đổi Fourier của hàm bậc thang đơn vị.
Lưu ý rằng chứng minh cần chỉ khả vi liên tục trong một lân cận của 0 và bị chặn về vô cùng. Giá trị chủ yếu vì thế được định nghĩa trên các giả thiết thậm chí yếu hơn chẳng hạn như khả tích với giá compact và khả vi tại 0.
Giá trị chủ yếu là phân phối ngược của hàm và gần như là phân phối duy nhất với tính chất này:
trong đó là một hằng số và là phân phối Dirac.
Trong một ý nghĩa rộng hơn, giá trị chủ yếu có thể được định nghĩa cho một lớp rộng các hạt nhântích phân kỳ dị trên không gian Euclide . Nếu nó có một điểm kỳ dị cô lập tại gốc, nhưng là hàm "đẹp" theo cách khác, thì phân phối giá trị chủ yếu được xác định dựa trên hàm trơn có giá compact bởi
Một giới hạn như vậy có thể có hoặc không được xác định rõ ràng nhưng nó có thể không nhất thiết phải xác định một phân phối. Tuy nhiên nó được xác định rõ khi là một hàm thuần nhất liên tục của độ có tích phân trong hình cầu bất kỳ với tâm tại gốc biến mất. Ví dụ, đây là trường hợp với các phép biến đổi Riesz.