Căn đơn vị

(đổi hướng từ Nghiệm đơn vị)

Trong toán học, căn đơn vị, đôi khi gọi là số de Moivre, là số phức bất kỳ khi lũy thừa mũ nguyên dương n có kết quả bằng 1. Căn đơn vị được sử dụng trong nhiều nhánh của toán học, và đặc biệt quan trọng trong lý thuyết số, lý thuyết nhóm tính chất, và biến đổi Fourier rời rạc.

Căn đơn vị cấp 5 trong Mặt phẳng phức

Trong lý thuyết trườnglý thuyết vành, khái niệm căn đơn vị cũng áp dụng cho bất kỳ vành nào có phần tử nhân được. Trường đóng đại số có chính xác n căn đơn vị cấp n nếu n không chia hết cho đặc trưng của trường.

Định nghĩaSửa đổi

Căn đơn vị cấp n, trong đó n là một số nguyên dương (tức là n = 1, 2, 3, …), là một số z thỏa phương trình sau:[1][2]

 

Nếu không nói gì thêm, căn đơn vị là các số phức, (bao gồm số 1, và số -1 nếu n chẵn, là các số phức với phần ảo bằng 0), và trong trường hợp này, căn đơn vị cấp n có dạng

 

Một căn đơn vị cấp n được gọi là nguyên thủy nếu nó không là một căn đơn vị cấp k của các số k nhỏ hơn n:

 

Nếu nsố nguyên tố, tất cả căn đơn vị cấp n, ngoại trừ 1, đều nguyên thủy.

Ví dụSửa đổi

Tìm các căn đơn vị cấp 3?

Theo định nghĩa, căn đơn vị cấp 3 là nghiệm của phương trình  . Dễ thấy   là một nghiệm của phương trình, vậy 1 là một căn đơn vị cấp 3.

Tuy nhiên, còn 2 nghiệm phức của phương trình là   .

Vậy tập các căn đơn vị cấp 3 là

 

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ Hadlock, Charles R. (2000). Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14. Cambridge University Press. tr. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.
  2. ^ Lang, Serge (2002). “Roots of unity”. Algebra. Springer. tr. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.

Tham khảoSửa đổi

Đọc thêmSửa đổi

  • Storer, Thomas (1967). Cyclotomy and difference sets. Chicago: Markham Publishing Company. Zbl 0157.03301.