Vào những năm 1760, Johann Heinrich Lambert đã chứng minh rằng số π (pi) là vô tỷ: nghĩa là nó không thể được biểu thị dưới dạng phân số a/b, trong đó asố nguyênb là số nguyên khác không. Vào thế kỷ 19, Charles Hermite đã tìm thấy một chứng minh không đòi hỏi kiến thức tiên quyết nào ngoài vi tích phân cơ bản. Ba lần đơn giản hóa của chứng minh của Hermite là do Mary Cartwright, Ivan NivenNicolas Bourbaki. Một chứng minh khác, đó là sự đơn giản hóa chứng minh của Lambert, là do Miklós Laczkovich.

Năm 1882, Ferdinand von Lindemann đã chứng minh rằng π không chỉ là số vô tỷ, mà còn là số siêu việt.[1]

Chứng minh của LambertSửa đổi

 
Quét công thức trên trang 288 của tác phẩm "Mémoires sur quelques ownétés remarquables des quantités transcendantes, Circulaires et logarithmiques", Mémoires de l'Académie royale des scatics de Berlin (1768), 265 – 322.

Năm 1761, Lambert đã chứng minh rằng π là số vô tỷ khi lần đầu tiên chứng minh rằng liên phân số mở rộng này là đúng:

 

Sau đó Lambert đã chứng minh rằng nếu x là khác không và hữu tỷ thì biểu thức này phải là số vô tỷ. Do tan (π/4) = 1, suy ra π / 4 là số vô tỷ và do đó π là số vô tỷ.[2] Một cách chứng minh đơn giản hóa chứng minh của Lambert được đưa ra dưới đây.

Chứng minh của HermiteSửa đổi

Bằng chứng này sử dụng đặc tính của π là số dương nhỏ nhất có hàm cosin của 1/2 số này bằng 0 và nó thực ra chứng minh rằng π2 là số vô tỷ.[3][4] Như trong nhiều bằng chứng về số vô tỷ, nó là một phép chứng minh sử dụng mâu thuẫn.

Xét các chuỗi hàm AnUn từ   tới   cho   mà được định nghĩa bởi:

 

Sử dụng quy nạp chúng ta có thể chứng minh rằng

 
 

Vì thế

 

tương đương với

 

Sử dụng định nghĩa của chuỗi và sử dụng phép quy nạp, chúng ta có thể chứng minh được rằng

 

Trong đó PnQn là các hàm đa thức có hệ số nguyên và bậc của Pn nhỏ hơn hoặc bằng ⌊n/ 2⌋. Cụ thể, An (π/2) = Pn (π2/4).

Hermite cũng đưa ra biểu thức đóng cho hàm An, cụ thể là

 

Ông không đưa ra chứng minh cho khẳng định này, nhưng nó có thể được chứng minh dễ dàng. Trước hết, khẳng định này tương đương với

 

Tiến hành theo quy nạp, lấy n =  0.

 

và, đối với bước quy nạp, xem xét bất kỳ  . Nếu

 

sau đó, sử dụng tích phân từng phần và quy tắc tích phân Leibniz, ta sẽ có

 

Nếu π2/4 = p/q, với pq thuộc  , thì vì các hệ số của Pn là các số nguyên và bậc của nó nhỏ hơn hoặc bằng ⌊n/2⌋, qn / 2⌋Pn(π 2/4) là một số nguyên N. Nói cách khác,

 

Nhưng con số này rõ ràng lớn hơn 0. Mặt khác, giới hạn của đại lượng này khi n đi đến vô cùng là 0 và vì vậy, nếu n đủ lớn thì N< 1. Vậy sẽ dẫn tới một mâu thuẫn.

Hermite đã không đưa ra chứng minh của mình như là một kết thúc mà là một tư duy trung gian trong quá trình tìm kiếm một bằng chứng về tính siêu việt của π. Ông đã thảo luận về các mối quan hệ lặp lại để thúc đẩy và để có được một đại diện tích phân thuận tiện. Một khi đại diện tích phân này có được, có nhiều cách khác nhau để trình bày một cách chứng minh cô đọng và khép kín bắt đầu từ tích phân (như trong các bài thuyết trình của Cartwright, Bourbaki hoặc Niven), mà Hermite có thể dễ dàng nhận ra (như ông đã làm trong chứng minh về tính siêu việt của số e [5]).

Hơn nữa, chứng minh của Hermite gần với chứng minh của Lambert hơn khi nhìn bề ngoài. Trong thực tế, An (x) là "phần dư" của phần nối tiếp của phân giải Lambert cho hàm tan(x).

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Jonathan M. Borwein biên tập (2004), Pi, a source book, ISBN 0-387-20571-3  Missing |last1= in Editors list (trợ giúp)
  2. ^ Jonathan M. Borwein (biên tập), ISBN 0-387-20571-3  Missing |last1= in Editors list (trợ giúp); |tựa đề= trống hay bị thiếu (trợ giúp)
  3. ^ Hermite, Charles (1873). “Extrait d'une lettre de Monsieur Ch. Hermite à Monsieur Paul Gordan”. Journal für die reine und angewandte Mathematik (bằng tiếng french) 76: 303–311. 
  4. ^ Hermite, Charles (1873). “Extrait d'une lettre de Mr. Ch. Hermite à Mr. Carl Borchardt”. Journal für die reine und angewandte Mathematik (bằng tiếng Pháp) 76: 342–344. 
  5. ^ Hermite, Charles (1912) [1873]. “Sur la fonction exponentielle”. Trong Picard, Émile. Œuvres de Charles Hermite (bằng tiếng Pháp) III. Gauthier-Villars. tr. 150–181.