Ứng dụng của đạo hàm

Tương tự như hàm số hay tích phân, vi phân, đạo hàm có nhiều ứng dụng trong toán học và nhiều lĩnh vực khác.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Tiếp tuyến của đường cong phẳng

Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến $M_{0}T$ của (C) tại điểm $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$. Chứng minh: Giả sử ta có điểm $M(x_{0}+\Delta x;f(x_{0}+\Delta x)0$ là điểm di chuyển trên (C). Ta có ${\bar {M_{0}H}}$ =$\Delta x,{\bar {HM}}=\Delta y$ Hệ số góc của cát tuyến $M_{0}M$ là $tan\varphi ={\frac {\bar {HM}}{\bar {M_{0}H}}}$ $={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ Khi M dần tới $M_{0}$ ($M\longrightarrow M_{0}$) thì $\Delta x\rightarrow 0$ và ngược lại. Theo giả thiết, f(x) có đạo hàm tại $x_{0}$ nên tồn tại giới hạn $f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ = $\lim _{M\to M_{0}}tan\varphi$ Vậy khi $M\longrightarrow M_{0}$ thì cát tuyến $M_{0}M$ dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng $M_{0}T$, có hệ số góc bằng $\lim _{M\to M_{0}}tan\varphi =f'(x_{0})$. Đường thẳng $M_{0}T$ là tiếp tuyến tại $M_{0}$ của (C). Vậy $f'(x_{0})$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $M_{0}$ của đồ thị (C)

Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm y=f(x) tại $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ là $y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})$ trong đó $y_{0}=f(x_{0})$. Điều này được rút ra từ tiếp tuyến đường cong phẳng.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Vận tốc tức thời

Một chuyển động thẳng có phương trình dạng $s=s(t)$ là một hàm số có đạo hàm, khi đó vận tốc tức thời xác định bằng công thức $v(t_{0})=s'(t_{0})=\lim _{t\to t_{0}}{\frac {s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}}$ trong đó nếu $t\rightarrow t_{0}$ $\Leftrightarrow \left\vert t-t_{0}\right\vert$ sẽ có độ chính xác càng cao..

Cường độ tức thời của dòng điện

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số thời gian của t hay $Q=Q(t)$ với cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian $\left\vert t-t_{0}\right\vert$là $I={\frac {Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}}$ hoặc đơn giản chỉ là $I(t_{0})=Q'(t_{0})$

Gia tốc tức thời

Với đạo hàm cấp hai ta có $f''(t)$ là gia tốc tức thời của chuyển động $s=f(t)$ tại thời điểm t.

Ý nghĩa hàm số của đạo hàm

Xét tính đơn điệu của hàm số

Định lý sau đây được thừa nhận: Cho hàm y=f(x) có đạo hàm trên K nếu f'(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K nếu f'(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)$\geq$ 0 $(f'(x)\leq 0)\forall x\in K,f(x)=0$ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K

Điều kiện để hàm số có cực trị

Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) liên tục trên $K=(x_{0}-h;x_{0}+h)$ và có đạo hàm trên K hoặc trên $K\setminus \left\{x_{0}\right\},h>0$ Nếu f'(x)>0 trên khoảng $(x_{0}-h;x_{0})$ và f'(x)<0 trên khoảng $(x_{0};x_{0}+h)$ thì $x_{0}$ là một điểm cực đại của hàm số f(x) Nếu f'(x)<0 trên khoảng $(x_{0}-h;x_{0})$ và f'(x)>0 trên khoảng $(x_{0};x_{0}+h)$ thì $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Tìm cực trị

Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng K kể trên và h>0 thì:

nếu $f'(x_{0})=0,f''(x_{0})>0=>x_{0}\min$

nếu $f'(x_{0})=0,f''(x_{0})<0=>x_{0}\max$