Ứng dụng của đạo hàm

Tương tự như hàm số hay tích phân, vi phân, đạo hàm có nhiều ứng dụng trong toán học và nhiều lĩnh vực khác.

Ý nghĩa hình học của đạo hàmSửa đổi

Tiếp tuyến của đường cong phẳngSửa đổi

Đạo hàm của hàm số   tại   là hệ số góc của tiếp tuyến   của (C) tại điểm  . Chứng minh: Giả sử ta có điểm   là điểm di chuyển trên (C). Ta có   =  Hệ số góc của cát tuyến      Khi M dần tới   ( ) thì   và ngược lại. Theo giả thiết, f(x) có đạo hàm tại   nên tồn tại giới hạn   =   Vậy khi   thì cát tuyến   dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng  , có hệ số góc bằng  . Đường thẳng   là tiếp tuyến tại   của (C). Vậy   là hệ số góc của tiếp tuyến tại   của đồ thị (C)

Phương trình tiếp tuyếnSửa đổi

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm y=f(x) tại    trong đó  . Điều này được rút ra từ tiếp tuyến đường cong phẳng.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàmSửa đổi

Vận tốc tức thờiSửa đổi

Một chuyển động thẳng có phương trình dạng   là một hàm số có đạo hàm, khi đó vận tốc tức thời xác định bằng công thức   trong đó nếu     sẽ có độ chính xác càng cao..

Cường độ tức thời của dòng điệnSửa đổi

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số thời gian của t hay   với cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian    hoặc đơn giản chỉ là  

Gia tốc tức thờiSửa đổi

Với đạo hàm cấp hai ta có   là gia tốc tức thời của chuyển động   tại thời điểm t.

Tất cả các kiến thức kể trên đều có trong SGK Đại số và Giải tích 11, Sách nâng cao Đại số và Giải tích 11 nâng cao và Sách Giáo viên Đại số Giải tích 11 nâng cao.

Ý nghĩa hàm số của đạo hàmSửa đổi

Xét tính đơn điệu của hàm sốSửa đổi

Định lý sau đây được thừa nhận: Cho hàm y=f(x) có đạo hàm trên K nếu f'(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K nếu f'(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)  0   tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K

Điều kiện để hàm số có cực trịSửa đổi

Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) liên tục trên   và có đạo hàm trên K hoặc trên   Nếu f'(x)>0 trên khoảng   và f'(x)<0 trên khoảng   thì   là một điểm cực đại của hàm số f(x) Nếu f'(x)<0 trên khoảng   và f'(x)>0 trên khoảng   thì   là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Tìm cực trịSửa đổi

Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng K kể trên và h>0 thì:

nếu  

nếu  

Tất cả các kiến thức trong mục này đều có trong SGK Giải tích 11.

Tham khảoSửa đổi